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¿Era físico o matemático? La visión de Henri Poincaré va más allá de los compartimentos estancos, de los límites, de las fronteras. Dominando todas las ciencias físicas de su época, enseñaba tanto electricidad como óptica o electrodinámica. Es al interesarse por las curvas definidas por ecuaciones diferenciales que examina con ojos innovadores el viejo problema de la estabilidad del sistema solar y da origen a los sistemas dinámicos, una teoría en los confines del análisis, de la topología y de la mecánica celeste. Poincaré también desempeña un papel determinante en el estudio de la velocidad de la luz, la teoría electromagnética de Maxwell y la puesta en evidencia del movimiento de la Tierra en el éter. Con Lorentz, desarrolla el formalismo de la relatividad restringida, que Einstein retomará.

Un problema de un millón de dólares: ¿encontrar una solución es tan fácil como verificarla? Escrito en la forma « P = NP ?», este problema por ahora sigue sin resolver. Así, demostrar que un horario cumple las restricciones impuestas es fácil, pero ¿encontrar uno que sirva? Si hay que enumerarlos uno por uno para probarlos, corremos el riesgo de pasar un tiempo más largo que la edad del sol, mientras que nos gustaría tener la solución en cinco minutos o en veinticuatro horas. Primero se busca identificar los problemas que sabemos resolver rápidamente. Para los demás, se utilizarán si es posible búsquedas arborescentes inteligentes, algoritmos exactos eficientes de tipo recorrido combinatorio, o métodos aproximados (metaheurísticas).

Además de ciertos de sus trabajos matemáticos, nos han llegado algunos documentos que nos informan sobre el pensamiento del joven Galois : fragmentos de textos encontrados en sus notas, artículos contestatarios que denuncian el funcionamiento de la institución escolar, cuadernos que exponen sus primeras investigaciones… Este es también el caso de sus producciones escolares : algunas solo han sido estudiadas recientemente, y otras siguen inéditas !

Los modelos matemáticos utilizados en economía son recientes, pero su lugar se ha vuelto hoy preponderante (incluso si nuestros responsables no siempre se toman el esfuerzo de intentar domesticarlos). Aplicaciones e ilustraciones de los principales dominios matemáticos interfieren cotidianamente con los sistemas de decisión y gestión, haciéndolos cada vez más eficientes. Utilizando el álgebra lineal o el cálculo diferencial e integral, el economista se vio obligado a convertirse en un gran usuario de las matemáticas. A partir de ejemplos concretos, los lectores de Tangente están invitados a comprender estos conceptos, no siempre conocidos por el gran público.

Los números irracionales, el cero, los números negativos tardaron siglos en ser aceptados. Este también fue el caso de los « imaginarios », que dieron origen a la noción de números complejos. A la base de su – tardía – introducción, estaba el deseo de resolver las ecuaciones de segundo grado que no tenían solución real. Esto condujo al diseño de un conjunto potente, con la estructura de cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, en el que toda ecuación algebraica admite una solución. Mejor aún, en la medida en que los complejos pueden identificarse con un punto del plano, ¡una poderosa correspondencia entre álgebra, análisis, geometría y trigonometría estaba por nacer!

Cuando se considera una familia de rectas, a menudo existe una curva tangente a cada una de ellas: es la envolvente de esta familia. Su ecuación se calcula a partir del parametrizado de las rectas. ¡Qué placer para la vista ver estas figuras geométricas hechas de rectas hábilmente colocadas a lo largo de las cuales se enrosca una bonita curva que parece rozar cada una de ellas! Entre las curvas así construidas, que se pueden reconocer en los pliegues o en los tableaux de hilos tensados, encontramos ciertas figuras muy conocidas como las cónicas. Los rayos luminosos que se reflejan en una superficie también trazan bonitas curvas, llamadas cáusticas. Apasionado de la óptica y cercano a Leibniz, el conde de Tschirnhaus comprendió el interés del cálculo diferencial para estudiarlas. ¡Las evolutas de curvas, envolventes de las normales, también ofrecen una bella geometría!

La transmisión externa de microbios o virus al igual que la propagación interna de células malignas se realiza según algoritmos cuya modelización está regida por una rama de las matemáticas: la de los sistemas dinámicos. Asociados a la teoría de las probabilidades, los modelos así construidos permiten no solo prever la evolución de las enfermedades, sino también tomar decisiones, tanto en materia de elección individual de la terapia como en materia de política pública, por ejemplo de aislamiento o vacunación.

Las matemáticas son la disciplina donde más se teme y estigmatiza los errores. Y sin embargo, ¡Fermat pudo equivocarse en una división y deducir un falso teorema! Euler, con un razonamiento un poco tambaleante, abrió el camino a una revolución de la aritmética. Legendre creyó demostrar el quinto postulado de Euclides con un razonamiento circular. Estos errores, y algunos otros que descubrirá, sin embargo tuvieron un impacto muy positivo en la historia de las matemáticas: fueron el motor de numerosos trabajos cuyos desarrollos continúan alimentando el pensamiento científico.

Incluso en matemáticas, reino del rigor, uno no puede escapar a la necesidad de realizar aproximaciones o redondeos, de delimitar desviaciones o errores potenciales. El manejo de los números en coma flotante, que hace el vínculo entre el mundo de las ideas y el de la tecnología, es un buen ejemplo. El objetivo de exactitud empuja a cuantificar la incertidumbre impuesta por restricciones técnicas o materiales. Indisociable del cálculo científico, incluyendo con la herramienta informática, la aproximación puede ser pesada de consecuencias. Sin embargo, ciertos errores son célebres por haber, inadvertidamente, permitido abrir una puerta hacia un nuevo universo.

Espacios de Hilbert, de Banach, espacios vectoriales normados, topológicos, medibles… Conceptualizados a finales del siglo xix y principios del siglo xx, los espacios son indispensables para el trabajo del matemático de hoy. Podemos imaginarlos como « entornos de trabajo » que ponen a disposición « herramientas » (distancias, normas, productos escalares, medida…), permitiendo formalizar las nociones que intervienen en la resolución de problemas (convergencia, límite, continuidad…). Descubrimos entonces que ideas aparecidas inicialmente sobre conjuntos de números o de vectores pueden aplicarse a conjuntos más complejos, como los espacios de funciones. Pequeña guía para orientarse en los espacios.