Para iniciar una de sus conferencias de divulgación ante un amplio público de estudiantes de bachillerato, el célebre medallista Fields Cédric Villani abordaba la recurrente pregunta de «para qué sirven las matemáticas». Venía a responder que la ciencia matemática es una herramienta absolutamente extraordinaria, no natural, inventada y desarrollada para describir y comprender el mundo, así como para actuar sobre él. Es, ante todo, una herramienta para resolver problemas, como ocurre con las demás ciencias. Además, en matemáticas se trabaja según reglas bien definidas —lógicas— y criterios precisos —estéticos, artísticos…—.
Las teorías matemáticas se elaboran resolviendo problemas que pueden ser teóricos o prácticos, internos a las matemáticas o planteados por situaciones concretas. Uno de los problemas «internos» emblemáticos, que surgió muy pronto en la historia de la humanidad y que abordaron numerosos grandes sabios de siglos pasados, se refiere al concepto de tangente a una curva. Detengámonos en un aspecto concreto de esta cuestión, restringiéndonos al caso de curvas planas que suponemos «regulares». Se trata de estudiar cómo se «aparta» una de esas curvas de una de sus tangentes en las proximidades del punto de tangencia considerado.
Tracemos primero una circunferencia
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En el plano, consideremos una curva «suave» (C) y uno de sus puntos, P, en el que se traza la tangente (T) a (C). En las inmediaciones de P, (C) prácticamente coincide con la recta (T); después, la curva se aleja progresivamente de (T) —salvo, claro está, en el caso particular y poco interesante de que (C) sea una recta—. ¿Cómo varía la desviación de (C) respecto de (T)?
La respuesta depende, evidentemente, de la curvatura de (C) en las proximidades de P. Si la curva (C) representa una carretera que gira en el punto P, entonces, según sea la curva «abierta» o «cerrada», (C) se aleja «poco» o «mucho» de (T).
