La tangence

En geometría plana, la tangente, todos la conocemos... siempre que la construcción pone en escena un círculo (C), una recta (D) y un punto P. Sin embargo, existen situaciones mucho más ricas. Con únicamente círculos tangentes, emerge una diversidad extraordinaria. Así, el arbelos, cuya vertiginosa construcción iterativa da lugar a propiedades abundantísimas, todas más asombrosas las unas que las otras, fascinó a los Antiguos. Los círculos gemelos de Arquímedes y las cadenas de Pappo nos sumergen en el corazón de una transformación geométrica de las más elegantes, la inversión. Más recientemente, los círculos de Malfatti permiten revisitar desde otro ángulo la noción de círculo inscrito. ¡La tangencia no ha dejado de asombrarnos!

La infinita variedad de las trayectorias del plano parecía escapar a toda clasificación. Sin embargo, las curvas suaves comparten una propiedad común: ¡cuando se « hace zoom » en un punto genérico, se « ve » una recta! Las nociones de tangente y derivada permitieron, con mucho retraso, formalizar esta observación. La tangente sigue siendo hoy una herramienta universal potente para estudiar las curvas e intentar poner de manifiesto sus propiedades. Sin embargo, cuidado con no confundir la tangente a una curva con su asíntota en el infinito. A priori, ninguna confusión es posible. Pero cuidado con las conclusiones apresuradas: ¡la geometría proyectiva le reserva sorpresas!

De sus propiedades, la tangente puede ser interpretada de diferentes maneras: recta que aproxima una curva, trayectoria de un rayo luminoso, geodésica de un espacio particular… Según el punto de vista adoptado, la tangente considerada transporta entonces una característica particular del problema estudiado. En física, por ejemplo, se utilizarán las propiedades focales de las cónicas para explicar un fenómeno. En economía, las rectas de presupuesto ayudarán a identificar las políticas de inversión realizables de una empresa. A cada problema, su recta, que muy frecuentemente resulta ser una tangente.