Una cuestión de intersección ---------------------------
La definición más sencilla de la tangencia en geometría se establece con ayuda de una circunferencia y una recta. En el plano euclidiano usual, una recta (D) y una circunferencia ( C) pueden tener dos, uno o ningún punto de intersección. Cuando hay un único punto, se dice que son tangentes. Si llamamos P a ese punto y O al centro de la circunferencia, la recta (OP) es perpendicular a (D).
Dos circunferencias son tangentes entre sí si son tangentes a una misma recta (D) en el mismo punto. La recta que une sus dos centros es perpendicular a (D).
Consideremos dos rectas secantes. Una circunferencia tangente a estas dos rectas tendrá su centro en una de las bisectrices de ambas rectas, y sus dos puntos de contacto estarán a la misma distancia de la intersección de las dos rectas.
Los triángulos rectángulos OPI y OQI tienen dos lados de igual longitud. Por tanto, la longitud de los lados restantes también es igual; así, IP = IQ. En consecuencia, como los dos triángulos son semejantes, los ángulos OIP^ y OIQ^ son iguales.
La circunferencia inscrita, tangente a los tres lados de un triángulo --------------------------------------------------------
Tres rectas que no concurren en un mismo punto ni son paralelas dos a dos forman un triángulo. Las tres bisectrices interiores de este triángulo concurren y, por lo dicho más arriba, este punto de intersección es el centro de una circunferencia tangente simultáneamente a los tres lados del triángulo: es la circunferencia inscrita en este triángulo.
Cuando el triángulo es rectángulo, una bonita fórmula relaciona el radio de la circunferencia inscrita con las longitudes de los lados del triángulo.
En efecto, se cumple la siguiente relación:
c = AR + BR = AQ + BP = (b ‒ r) + (a ‒ r), de donde se deduce 2r = a + b – c (aquí a (respectivamente b, c) designa la longitud del lado opuesto al vértice A (respectivamente B, C)).
En el caso general también puede relacionarse el área S del triángulo con las longitudes de los lados y con el radio r de la circunferencia inscrita; se tiene entonces 2S = r (a + b + c).
Para demostrarlo, basta con sumar las áreas de los tres triángulos OAB, OAC y OBC.