Una questione di intersezione ---------------------------
La definizione più semplice di tangenza in geometria si dà con l’ausilio di una circonferenza e di una retta. Nel consueto piano euclideo, una retta (D) e una circonferenza (C) possono avere due, uno o nessun punto d’intersezione. Nel caso di un unico punto, si dice che sono tangenti. Indicando con P tale punto e con O il centro della circonferenza, la retta (OP) è perpendicolare a (D).
Due circonferenze sono tangenti tra loro se sono tangenti alla stessa retta (D) nello stesso punto. La retta che unisce i loro centri è perpendicolare a (D).
Consideriamo due rette secanti. Una circonferenza tangente a entrambe avrà il centro su una delle bisettrici delle due rette, e i suoi due punti di tangenza saranno equidistanti dal loro punto d’intersezione.
I triangoli rettangoli OPI e OQI hanno due lati della stessa lunghezza. Anche i terzi lati hanno dunque la stessa lunghezza; si ha quindi IP = IQ. Di conseguenza, poiché i due triangoli sono simili, gli angoli OIP^ e OIQ^ sono uguali.
La circonferenza inscritta, tangente ai tre lati di un triangolo --------------------------------------------------------
Tre rette non concorrenti e a due a due non parallele formano un triangolo. Le tre bisettrici interne di questo triangolo sono concorrenti e, in base a quanto detto più sopra, il loro punto d’intersezione è il centro di una circonferenza tangente contemporaneamente ai tre lati del triangolo: è la circonferenza inscritta nel triangolo.
Quando il triangolo è rettangolo, una bella formula mette in relazione il raggio della circonferenza inscritta con le lunghezze dei suoi lati.
Infatti, vale la relazione seguente:
c = AR + BR = AQ + BP = (b ‒ r) + (a ‒ r), da cui si deduce 2r = a + b – c (qui indicheremo con a (rispettivamente b, c) la lunghezza del lato opposto al vertice A (rispettivamente B, C)).
Nel caso generale, si può comunque mettere in relazione l’area S del triangolo con le lunghezze dei lati e con il raggio r della circonferenza inscritta; si ha allora 2S = r (a + b + c).
Per dimostrarlo, basta sommare le aree dei tre triangoli OAB, OAC e OBC.