Per aprire una delle sue conferenze divulgative davanti a un vasto pubblico di studenti delle scuole superiori, il celebre medaglia Fields Cédric Villani affrontava la ricorrente domanda «a che cosa serve la matematica». Rispondeva, in sostanza, che la scienza matematica è uno strumento assolutamente straordinario, non naturale, inventato e sviluppato per descrivere e comprendere il mondo, nonché per agire su di esso. È anzitutto uno strumento per risolvere problemi, come accade nelle altre scienze. Inoltre, in matematica si lavora secondo regole ben definite (logiche) e criteri precisi (estetici, artistici…).
Le teorie matematiche vengono elaborate risolvendo problemi che possono essere teorici o pratici, interni alla matematica oppure sollevati da situazioni concrete. Uno dei problemi «interni» emblematici, sorto assai presto nella storia dell’umanità e affrontato da numerosi grandi studiosi dei secoli passati, riguarda il concetto di tangente a una curva. Soffermiamoci su un aspetto particolare di questa problematica, limitandoci al caso di curve piane supposte «regolari». Si tratta di studiare come una simile curva si «discosti» da una delle sue tangenti in prossimità del punto di tangenza considerato.
Tracciamo anzitutto un cerchio
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Nel piano, consideriamo dunque una curva «liscia» (C) e uno dei suoi punti P, dal quale è tracciata la tangente (T) a (C). Nell’«immediata prossimità» di P, (C) coincide quasi con la retta (T); poi la curva si allontana progressivamente da (T) (salvo, naturalmente, il caso particolare e poco interessante in cui (C) sia essa stessa una retta). Come varia la deviazione di (C) rispetto a (T)?
La risposta dipende evidentemente dalla curvatura di (C) in prossimità di P. Se la curva (C) rappresenta una strada con una curva nel punto P, allora, a seconda che la curva sia «ampia» o «stretta», (C) si allontana «poco» o «molto» da (T).
