-
Se, nel piano euclideo munito di un sistema di riferimento, si considera una curva (C) di equazione f (x) = 0 e due punti M0 e M della curva (di ascisse rispettivamente x0 e x), il coefficiente angolare della retta secante (M0M) è dato dal rapporto incrementale tra i punti M0 e M: è uguale a .
Quando il punto M tende a M0, la retta (M0M), secante alla curva (C), tende in genere verso una posizione che è quella della tangente a (C) in M0 (in blu nel grafico): anche senza definire con precisione questa nozione di limite, dal grafico si può osservare che la retta (M0M’) è «più vicina» alla tangente in M0 della retta (M0M), poiché il punto M’ è «più vicino» a M0 di quanto non lo sia M. In alcuni punti particolari può non esserci tangente, oppure possono presentarsi curve molto «patologiche».
Il coefficiente angolare della tangente è dunque, in generale, il limite del coefficiente angolare della retta (M0M), ossia il limite del rapporto incrementale tra M0 e M quando M tende a M0, vale a dire quando x tende a x0. È il valore della derivata di f in x0:
