Fin dall’Antichità, i matematici si sforzarono di approssimare una curva qualunque con un’altra, reputata «più semplice» da trattare. Come curve di riferimento, scelsero spesso le curve più elementari e meglio conosciute, vale a dire rette (vedi La Droite, Bibliothèque Tangente 59, 2017) o cerchi (vedi Le Cercle, Bibliothèque Tangente 36, 2009). Stabilirono che una curva piana può generalmente essere pressoché confusa, in prossimità di uno dei suoi punti, con la retta tangente o con il cerchio osculatore in quel punto (vedi il nostro dossier «La saga delle curve», Tangente 146, 2012).
Questi due oggetti geometrici, la retta e il cerchio, svolgono ovviamente un ruolo importante nello studio delle curve e trovano largo impiego in molteplici ambiti (in geometria, analisi, fisica, economia, finanza…). Prendiamoci il tempo di riscoprirli osservando una curva nell’immediato intorno di uno dei suoi punti, mediante lenti d’ingrandimento che forniscono immagini ingrandite delle regioni studiate.
Il caso della parabola ---------------------
Per mostrare che il metodo impiegato è al tempo stesso naturale ed efficace, applichiamolo a una prima curva, molto semplice: la parabola (P) di equazione y = *x 2.
Iniziamo osservando (P) vicino al suo vertice, l’origine O di coordinate (0 ; 0) del piano, usando diverse lenti d’ingrandimento. Per cogliere bene l’effetto di ingrandimento di questi strumenti, riuniamo nella stessa figura la parabola (P) tracciata in blu e le immagini fornite da una lente che ingrandisce rispettivamente dieci volte (in rosso), cento volte (in verde) e mille volte (in grigio).