analyse a priori

Une enseignante prépare un problème sur des rectangles de périmètre 20 cm. Avant la séance, elle imagine les chemins que les élèves pourraient suivre : essayer des longueurs, organiser les couples de nombres ou écrire une égalité. Elle prévoit aussi les réponses possibles et les erreurs révélatrices.

Ce travail effectué avant la rencontre avec la classe est une analyse a priori. Il ne raconte pas ce que les élèves feront réellement. Il rend explicites les démarches et les résultats attendus afin de savoir ensuite quoi observer.

En didactique des mathématiques, l’analyse a priori est l’étude menée avant la mise en œuvre d’une expérimentation ou d’une séquence d’enseignement. Elle porte sur une situation encore à proposer aux élèves. Son objet est d’identifier et d’examiner ce qui peut être attendu, à la fois dans leurs démarches et dans leurs résultats.

Les démarches attendues décrivent les chemins de résolution envisageables : essais, organisation des données, calcul ou raisonnement. Les résultats attendus comprennent les réponses correctes, mais peuvent aussi inclure des réponses incomplètes ou erronées que la tâche rend plausibles. L’analyse relie ainsi une consigne précise à des productions anticipées.

Ces anticipations sont des hypothèses de travail, non des prédictions certaines sur chaque élève. Après la séance, les productions effectivement observées peuvent être confrontées à ce cadre préparatoire.

Une enseignante prépare la consigne suivante : « Trouver tous les rectangles dont les côtés ont des longueurs entières et dont le périmètre vaut 20 cm. » Les données sont le périmètre de 20 cm, des longueurs entières positives et des rectangles considérés sans distinguer leur orientation.

1. Elle traduit le périmètre : si la longueur est notée L et la largeur l, alors $2(L+l)=202(L+l)=20$, donc $L+l=10L+l=10$.
2. Elle anticipe une première démarche : essayer des couples puis vérifier leur somme.
3. Elle anticipe une seconde démarche : fixer L, calculer l = 10 − L, puis éliminer les doublons dus à l’orientation.
4. Elle prévoit cinq résultats : 1 et 9, 2 et 8, 3 et 7, 4 et 6, puis 5 et 5.

Le résultat attendu est donc de cinq rectangles. Le contrôle est refaisable : chaque couple a une somme égale à 10, donc un périmètre égal à 20 cm, et aucun couple positif non ordonné ne manque.

Avant une séance, l’enseignant part de la consigne exacte et note plusieurs démarches plausibles, les résultats associés et les erreurs que la tâche peut faire apparaître. Ce cadre l’aide à choisir les productions auxquelles prêter attention.

Avant une expérimentation, le chercheur explicite les réponses qu’il s’attend à recueillir. Si la question porte seulement sur les horaires, le matériel ou la répartition des groupes, une préparation logistique suffit ; l’analyse a priori concerne les démarches et résultats des élèves.

Pour préparer une observation, il est utile d’associer chaque résultat attendu à une démarche possible. Une même réponse pouvant provenir de raisonnements différents, le résultat final ne suffit pas toujours à décrire le chemin suivi.

Analyse a posteriori. L’analyse a priori formule des attentes avant la séance ; l’analyse a posteriori examine ce qui s’est effectivement produit après celle-ci. Une démarche imprévue observée dans une copie relève donc de la seconde.

Évaluation diagnostique. Une évaluation diagnostique recueille des informations réelles sur les acquis d’élèves. L’analyse a priori anticipe plutôt leurs démarches face à une situation déterminée. Le résultat d’un questionnaire déjà passé est un diagnostic, non une anticipation.

Préparation matérielle d’une séance. Prévoir des feuilles, une durée ou des groupes organise les conditions de travail. Prévoir les essais, raisonnements et réponses suscités par la consigne constitue l’analyse a priori.

Prendre l’anticipation pour une prédiction. Une démarche non prévue peut apparaître en classe. Le symptôme est de considérer toute production inattendue comme hors sujet ; il faut au contraire la décrire puis réviser les hypothèses.

Confondre attendu et souhaité. L’analyse ne se limite pas à la solution que l’enseignant voudrait voir. Si seules les réponses correctes sont envisagées, des erreurs plausibles et les raisonnements qui les produisent deviennent invisibles ; il faut aussi les anticiper.

Changer la tâche sans reprendre l’analyse. Une consigne, une donnée ou une contrainte modifiée peut susciter d’autres démarches. Lorsque le problème réellement proposé diffère du problème étudié, il faut refaire l’analyse à partir de sa version effective.

Rester trop général. Écrire seulement « les élèves chercheront » ne fournit aucun repère observable. Il faut nommer des démarches possibles et les résultats auxquels elles peuvent conduire, sans prétendre épuiser tous les cas.

La didactique des mathématiques situe l’analyse a priori dans l’étude des conditions d’apprentissage et d’enseignement propres aux mathématiques.

La situation-problème prolonge la réflexion sur les tâches capables de susciter des démarches de recherche chez les élèves.

Le contrat didactique aide à examiner les attentes réciproques qui peuvent orienter les comportements dans une situation d’enseignement.

La transposition didactique éclaire le passage d’un savoir de référence au savoir proposé dans une séquence d’enseignement.