cadran analemmatique

Imaginez une grande ellipse d'heures tracée sur le sol d'un jardin. Au milieu, une ligne porte des repères de dates. Une personne se place sur le repère du jour : son corps devient la tige verticale, appelée style, dont l'ombre vise une heure de l'ellipse.

Le déplacement sur la ligne des dates est essentiel. La course apparente du Soleil change au fil de l'année ; garder le style au même endroit fausserait donc la lecture. Une vue documentaire d'un cadran au sol permet de reconnaître l'ellipse, la ligne centrale et la personne qui sert de style.

Un cadran analemmatique est un cadran solaire azimutal, le plus souvent horizontal. Ses repères horaires sont distribués sur une ellipse. Son style est vertical et mobile : avant chaque lecture, il est placé sur une ligne des dates située selon le petit axe de l'ellipse. L'heure solaire locale se lit au repère vers lequel se dirige l'ombre du style. Dans un grand cadran public, une personne peut tenir ce rôle.

Dans le modèle géométrique usuel, le demi-grand axe de l'ellipse est noté a, la valeur absolue de la latitude d'installation est notée φ et le demi-petit axe est noté b. Leur relation est $b=a\sin \phi b=a\backslash sin\; \backslash varphi$. Pour un angle horaire H compté depuis midi solaire, un repère d'heure a pour coordonnées :

Ces relations décrivent une ellipse idéale correctement orientée. Elles ne suffisent pas, à elles seules, à convertir l'heure solaire lue en heure légale.

On construit un modèle à la latitude φ = 45°, avec un demi-grand axe a = 5 m. À l'équinoxe, la déclinaison solaire δ vaut 0° dans ce modèle, donc le style occupe le centre. On cherche le repère de 15 h solaires, soit trois heures après midi et un angle horaire H = 45°.

Données : a = 5 m ; φ = 45° ; δ = 0° ; H = 45°.

1. Calculer le demi-petit axe : $b=5\sin {45}^{\circ }\approx \mathrm{3,54}\mathrm{m}b=5\backslash sin\; 45^\backslash circ\backslash approx\; 3\{,\}54\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$.
2. Placer le style au centre, puisque sa position sur la ligne des dates est nulle lorsque δ = 0°.
3. Calculer le repère horaire : $x=5\sin {45}^{\circ }\approx \mathrm{3,54}\mathrm{m}x=5\backslash sin\; 45^\backslash circ\backslash approx\; 3\{,\}54\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$ et $y=\mathrm{3,54}\cos {45}^{\circ }\approx \mathrm{2,50}\mathrm{m}y=3\{,\}54\backslash cos\; 45^\backslash circ\backslash approx\; 2\{,\}50\backslash \; \backslash mathrm\{m\}$.

Le repère de 15 h est donc placé à environ 3,54 m selon le grand axe et 2,50 m selon le petit axe. Le contrôle consiste à vérifier l'équation de l'ellipse : $(x\mathrm{/}a{)}^2+(y\mathrm{/}b{)}^2\approx \mathrm{0,50}+\mathrm{0,50}=1(x/a)^2+(y/b)^2\backslash approx\; 0\{,\}50+0\{,\}50=1$. Le schéma conserve ces proportions et montre la direction d'ombre attendue.

Dans un jardin ou une cour, on commence par repérer l'ellipse des heures et la ligne des dates. La personne rejoint le repère correspondant au jour, se tient droite, puis observe quel repère horaire est atteint par son ombre.

Pour contrôler une installation, on vérifie que le plan est horizontal, que l'axe de midi est correctement orienté et que les repères horaires appartiennent bien à la même ellipse. Si le terrain est incliné ou l'orientation incertaine, un cadran calculé pour ce support est préférable à la simple copie d'un tracé existant.

Pour comparer la lecture à une montre, on note d'abord qu'il s'agit d'heure solaire locale. Le fuseau horaire, la longitude du lieu, l'éventuelle heure d'été et la variation saisonnière entre temps solaire apparent et temps solaire moyen demandent des corrections séparées.

Cadran solaire à style fixe. Son style reste au même point et sa géométrie propre fournit les lignes horaires. Sur un cadran analemmatique, le critère décisif est au contraire le déplacement du style sur une ligne des dates. Une tige définitivement scellée au centre ne réalise donc pas le fonctionnement analemmatique complet.

Analemme. Un analemme est une courbe liée aux positions apparentes du Soleil relevées à heure régulière au cours de l'année. Le cadran analemmatique porte typiquement une ellipse horaire et une ligne des dates : son nom proche ne signifie pas que son contour est cette courbe en huit.

Gnomon et style. Le gnomon est l'objet qui produit une ombre ; le style désigne plus précisément l'élément dont la direction ou l'ombre sert à lire l'heure. Ici, une personne ou une tige verticale mobile peut être le style du cadran.

Mauvaise date. Si le style reste au centre toute l'année, l'ombre peut couper l'ellipse sans donner le bon repère horaire. Il faut déplacer le style sur la graduation de date prévue avant chaque lecture.

Soleil trop bas ou masqué. Une ombre très longue peut dépasser le tracé, tandis qu'un ciel couvert ou un obstacle peut la rendre illisible. Il faut alors renoncer à la lecture plutôt que prolonger arbitrairement une ombre mal définie.

Latitude limite. Dans le modèle $b=a\sin \phi b=a\backslash sin\; \backslash varphi$, où φ est la valeur absolue de la latitude, φ = 0° donne b = 0 : l'ellipse s'aplatit en segment et le tracé usuel dégénère. À cette latitude, il faut employer une construction adaptée plutôt que dessiner une ellipse non dégénérée.

Heure de la montre. Une lecture de 15 h solaires n'est pas nécessairement 15 h à la montre. Avant de comparer, il faut appliquer les conventions et corrections du lieu et de la date, avec une précision compatible avec le tracé et la netteté de l'ombre.

Le cadran solaire replace le modèle analemmatique dans la famille des instruments qui utilisent l'ombre du Soleil pour repérer l'heure. Cette vue d'ensemble aide à comparer supports, styles et modes de lecture.