cercle répétiteur

Un navigateur vise deux directions et mesure l'angle qui les sépare. Au lieu de lire une seule fois la graduation, il recommence la même observation en laissant l'instrument additionner les mesures.

Le total accumulé déroulé représente alors plusieurs fois l'angle recherché. Si la graduation circulaire a franchi un ou plusieurs tours, il faut d'abord ajouter ces tours complets à la lecture affichée, puis diviser le total par le nombre de répétitions. On obtient ainsi une moyenne qui peut être moins sensible aux petites erreurs de lecture aléatoires et indépendantes. C'est ce geste d'accumulation qui donne son nom au cercle répétiteur.

Le cercle répétiteur désigne une famille d'instruments destinés à mesurer des angles. Utilisés en navigation maritime et en géodésie aux XVIIIe et XIXe siècles, ces instruments prolongent le principe de l'octant. Le recours à des miroirs explique aussi le nom de cercles réfléchissants.

Leur caractère distinctif est la répétition. Un même angle est reporté plusieurs fois sur le cercle, de sorte que les mesures successives s'accumulent avant la lecture finale. Si la lettre A désigne le total accumulé déroulé, sans réduction modulo 360°, et si n est un entier strictement positif désignant le nombre de répétitions, l'angle moyen θ est donné par $\theta =\frac{A}{n}\backslash theta=\backslash frac\{A\}\{n\}$. Cette moyenne peut atténuer les petites erreurs de lecture aléatoires lorsqu'elles sont indépendantes et idéalement centrées ; elle suppose que la même grandeur a été observée à chaque répétition et ne réduit pas une erreur systématique ou corrélée.

La famille comprend notamment le cercle décrit par Tobias Mayer en 1767, le cercle perfectionné par Jean-Charles de Borda et leurs variantes. La version définitive du cercle de Borda fut réalisée vers 1777 par Étienne Lenoir. Elle participa ensuite aux travaux de Delambre et Méchain sur l'arc du méridien terrestre, liés à la création du système métrique. Dans la plupart des usages, le sextant a finalement supplanté le cercle répétiteur.

Les modèles varient, mais leur chaîne de mesure associe quatre éléments fonctionnels. Le cercle porte les graduations sur lesquelles l'angle accumulé est lu. Les organes de visée fixent les deux directions à comparer. Les miroirs des versions réfléchissantes amènent ces directions dans une même observation. Enfin, les pièces mobiles permettent de reporter plusieurs fois le même angle sans remettre la lecture à zéro.

La visée commande donc le déplacement, le déplacement fait croître la valeur portée par le cercle, puis la graduation fournit le total à diviser. La forme circulaire, les miroirs et le mécanisme de répétition définissent le fonctionnement ; le matériau, la taille et la disposition précise peuvent changer selon le cercle de Mayer, celui de Borda ou une variante.

Considérons une observation pédagogique répétée six fois. Le total accumulé déroulé, sans réduction modulo 360°, est de 223° 12′. Il faut retrouver l'angle moyen entre les deux directions visées.

Le nombre de répétitions est n = 6.
L'angle accumulé est A = 223° 12′.
Une minute d'angle vaut un soixantième de degré.

1. Convertissez le total en minutes d'angle : 223 × 60 + 12 = 13 392′.
2. Divisez par les six répétitions : 13 392′ ÷ 6 = 2 232′.
3. Reconstruisez les degrés et les minutes : 2 232′ = 37 × 60′ + 12′, soit 37° 12′.

L'angle moyen mesuré vaut donc 37° 12′. Le contrôle consiste à multiplier ce résultat par six : 37° 12′ × 6 = 223° 12′, exactement le total accumulé déroulé annoncé.

En navigation maritime, l'observateur répétait une mesure angulaire lorsque la précision de la lecture comptait davantage que la rapidité. Le sextant, devenu l'alternative dominante, était préféré dans la plupart des applications ultérieures.

En géodésie, plusieurs observations du même angle permettaient de réduire l'effet des petites erreurs de lecture. Ce principe fut employé par Delambre et Méchain pour mesurer l'arc du méridien terrestre lors des travaux liés au système métrique.

Pour interpréter une mesure conservée dans des archives, il faut rechercher le nombre de répétitions et le total accumulé déroulé. Si seule une lecture circulaire est consignée, le nombre de tours complets doit aussi être connu afin de reconstituer ce total. Son quotient par le nombre de répétitions donne alors l'angle moyen.

Le sextant. Les deux instruments utilisent des miroirs pour mesurer des angles, mais le critère décisif est l'accumulation. Le cercle répétiteur reporte plusieurs fois le même angle avant de diviser la lecture ; le sextant fournit normalement une mesure directe et a supplanté le cercle dans la plupart des applications.

L'octant. Le cercle répétiteur en perfectionne le principe, sans être simplement un autre nom pour cet instrument. Si l'appareil est conçu pour additionner des mesures successives sur un cercle complet, il appartient à la famille répétitrice décrite ici.

Un cercle géométrique. Ici, le mot cercle nomme un instrument matériel et sa graduation circulaire. Le contexte tranche : une lecture, des miroirs et des visées indiquent un cercle répétiteur, non la seule courbe plane définie par un centre et un rayon.

Une seule observation. Au cas charnière n = 1, la lecture n'est pas une moyenne de répétitions. Le dispositif mesure encore un angle, mais il ne bénéficie pas de la réduction des erreurs de lecture recherchée par l'accumulation.

Nombre de répétitions erroné. Diviser le total accumulé déroulé par un autre nombre que celui des reports fausse directement le résultat. Si le quotient remultiplié par n ne redonne pas ce total, il faut vérifier le décompte, les éventuels tours complets et le calcul.

Directions modifiées en cours de série. La moyenne n'a de sens que si chaque répétition porte sur le même angle. Une cible ou une référence qui change produit une accumulation hétérogène ; il faut interrompre la série et recommencer avec deux directions stables.

Erreurs systématiques ou corrélées. Répéter peut atténuer les petites erreurs de lecture aléatoires lorsqu'elles sont indépendantes et idéalement centrées, mais ne réduit pas un défaut systématique ni nécessairement des erreurs corrélées. Un écart persistant malgré plusieurs séries appelle un contrôle de l'instrument ou une autre méthode de mesure.

La fiche géodésie replace la mesure des angles dans l'étude de la forme et des dimensions de la Terre.

Le glossaire système métrique prolonge le rôle historique des mesures de Delambre et Méchain.

La fiche sextant présente l'instrument qui a remplacé le cercle répétiteur dans la plupart des applications.

L'article La mesure du méridien en images donne un prolongement historique aux observations géodésiques liées au système métrique.