mathématiques et balistique

Une balle lancée en l’air avance, monte, ralentit verticalement, puis retombe. Sans résistance de l’air, la gravité courbe sa trajectoire en une parabole. Avec un frottement fluide, l’air exerce en plus une force opposée à la vitesse : la courbe change de forme.

Les mathématiques de la balistique relient ainsi la position du projectile aux forces qui agissent sur lui. La loi choisie pour le frottement est décisive : une résistance nulle donne le modèle parabolique classique, tandis qu’une résistance non nulle produit une courbe balistique plus complexe.

La balistique mathématique étudie le mouvement d’un projectile en traduisant les forces appliquées en équations de mouvement. Dans le cadre décrit ici, le projectile est assimilé à un point matériel. Il se déplace dans un champ gravitationnel uniforme et subit éventuellement un frottement fluide dirigé en sens contraire de son vecteur vitesse.

La vitesse scalaire est notée $vv$. L’intensité de la résistance est proportionnelle à une fonction de cette vitesse, notée $j(v)j(v)$. Le choix de cette loi détermine la forme de la trajectoire. Lorsque $j\equiv 0j\backslash equiv\; 0$, il n’y a pas de frottement : dans le modèle classique de Galilée, la trajectoire est une parabole. Lorsque la résistance n’est pas nulle, la trajectoire, parfois appelée parabole amortie, n’est généralement pas une conique.

Ces courbes ont été étudiées par Jean Bernoulli en 1719, Euler en 1753, Legendre en 1782 et Jacobi en 1842. L’objet mathématique ne se réduit donc pas à une unique courbe : il s’agit d’une famille de trajectoires dépendant de la loi de résistance retenue.

On lance depuis le sol un projectile à 20 m/s, sous un angle de 45°. Le modèle néglige le frottement et prend une accélération de la pesanteur de 10 m/s². La position initiale est l’origine du repère.

1. La vitesse horizontale initiale et la vitesse verticale initiale valent chacune $20\cos ({45}^{\circ })=10\sqrt{2}20\backslash cos(45^\backslash circ)=10\backslash sqrt\{2\}$ m/s.

2. Pour un temps $tt$ exprimé en secondes, les coordonnées en mètres vérifient :

3. En éliminant le temps, on obtient la trajectoire : Son sommet est atteint pour x = 20 m, à la hauteur y = 10 m.

4. Le retour au sol vérifie y = 0. Outre le départ x = 0, la seconde solution est x = 40 m : la portée vaut donc 40 m. La durée de vol vaut $2\sqrt{2}\approx \mathrm{2,83}2\backslash sqrt\{2\}\backslash approx2\{,\}83$ s. Le contrôle est immédiat : remplacer x par 0 ou 40 dans y = x − x²/40 donne bien y = 0.

Pour une première estimation sur une courte trajectoire, on peut négliger le frottement et utiliser le modèle parabolique. Le geste consiste à fixer la vitesse initiale, l’angle de lancement et la gravité, puis à calculer la position au cours du temps.

Si la résistance du fluide ne peut plus être négligée, la parabole doit être remplacée par une courbe adaptée à la loi de résistance. Le critère observable est un écart persistant entre les positions prévues par la parabole et la trajectoire effectivement considérée.

Pour comparer deux modèles, on conserve les mêmes conditions initiales et on change seulement la fonction de résistance. La différence entre les courbes révèle alors l’effet attribuable au frottement, sans le confondre avec un changement de vitesse ou d’angle au départ.

Une courbe balistique avec frottement n’est pas nécessairement une parabole au sens géométrique. Le test consiste à vérifier la loi de résistance : si elle est nulle dans le modèle décrit, la trajectoire est parabolique ; si elle ne l’est pas, la courbe ne se réduit généralement pas à une conique. L’expression « parabole amortie » est donc un nom historique ou descriptif, pas l’affirmation que la courbe reste une parabole.

La trajectoire ne doit pas non plus être confondue avec le graphe de la hauteur en fonction du temps. Dans l’exemple sans frottement, la trajectoire relie y à x, tandis que y(t) décrit seulement l’altitude au fil des secondes. Les deux graphes sont paraboliques dans ce cas, mais leurs axes et leurs unités diffèrent.

Le cas charnière est $j\equiv 0j\backslash equiv\; 0$. Le symptôme est l’absence complète de terme de résistance : il faut alors employer la parabole classique, et non parler d’une déformation due au fluide.

Une résistance non nulle ne détermine pas à elle seule une courbe unique. Il faut connaître la fonction $j(v)j(v)$ et les conditions initiales. Si ces données manquent, une trajectoire précise ou une portée numérique ne peut pas être déduite du seul mot « frottement ».

Le modèle source suppose un champ gravitationnel uniforme et un projectile réduit à un point matériel. Si le problème considéré ne respecte pas ces hypothèses, le symptôme est qu’une force ou une dimension pertinente reste hors du modèle. Il faut alors reformuler les équations avant de réutiliser les conclusions sur les courbes balistiques.

Dans l’exemple, 2,83 s est un arrondi de $2\sqrt{2}2\backslash sqrt\{2\}$ s, tandis que 40 m et 10 m sont exacts sous les hypothèses choisies. Remplacer le signe ≈ par une égalité ferait perdre cette distinction.

La fiche parabole précise les propriétés géométriques de la trajectoire obtenue lorsque la résistance est nulle.

L’article La parabole et ses atours prolonge l’étude de cette courbe au-delà de son rôle dans le modèle balistique sans frottement.