Rubik's cube

Prenez un cube mélangé et tournez la couche extérieure correspondant à une face d'un quart de tour : les huit facettes périphériques de cette face changent de position avec des facettes des faces voisines, tandis que la facette centrale reste à la même place. Chaque nouveau tour modifie plusieurs faces à la fois. Résoudre le Rubik's Cube revient donc à remettre les couleurs en ordre par une suite de rotations autorisées, sans démonter l'objet.

Le défi n'est pas seulement visuel. Il faut choisir des mouvements qui placent certaines pièces sans défaire tout ce qui est déjà rangé.

Le Rubik's Cube est un casse-tête mécanique en forme de cube, inventé au début de 1974 par Ernő Rubik, professeur hongrois d'architecture et de design. Son nom d'origine, Bűvös Kocka, signifie « Cube Magique ». Le modèle courant est le 3 × 3 × 3 : chacune de ses six faces présente neuf facettes, soit 54 facettes colorées visibles.

Un mécanisme d'axes solidaires, caché au cœur du cube, autorise la rotation des couches extérieures, qui entraîne aussi des pièces visibles sur les faces adjacentes. Une position du puzzle est transformée par une suite de ces rotations. La résolution consiste à atteindre une position où chacune des six faces est d'une seule couleur.

Pour le 3 × 3 × 3, la borne optimale usuelle annoncée est de 20 mouvements depuis toute position légale, sous une convention de comptage donnée. D'autres dimensions ou conventions conduisent à d'autres nombres ; la source mentionne notamment des valeurs de 24 à 29 selon les variantes. L'algorithme de Thistlethwaite appartient aux méthodes de résolution par étapes. Le Rubik's Revenge est la variante 4 × 4 × 4 fondée sur le même principe général.

Le puzzle réunit quatre éléments visibles ou fonctionnels. Les six faces donnent sa forme cubique. Les neuf cases de chaque face portent ensemble 54 facettes colorées. Le mécanisme central, formé d'axes solidaires, maintient l'ensemble tout en permettant les rotations. Enfin, une position décrit la répartition momentanée des facettes après plusieurs mouvements.

Le mécanisme relie les éléments mobiles : lorsqu'une couche extérieure tourne, les huit facettes périphériques de la face changent de position avec des facettes des faces voisines, tandis que la facette centrale reste à la même place. La position dépend donc de l'ordre des rotations, pas seulement de leur nombre. Les couleurs servent à lire l'état du puzzle ; elles ne créent pas le mouvement. Cette structure suffit à définir une suite de rotations et à contrôler si chaque face finale est uniforme.

Partons d'un cube résolu. Les données sont une face droite, notée R, et une face supérieure, notée U. Une lettre seule désigne un quart de tour horaire vu face à la face tournée ; le signe prime désigne le quart de tour inverse. Nous appliquons successivement R, U, R′, U′.

Étape 1. Effectuez R, puis U, puis R′, puis U′. Le cube n'est plus dans sa position initiale.

Étape 2. Pour annuler la suite, prenez les mouvements dans l'ordre opposé et inversez chacun d'eux. La séquence d'annulation est donc U, R, U′, R′.

Étape 3. Appliquez ces quatre nouveaux quarts de tour. Chaque mouvement annule alors son partenaire lorsque les deux suites sont composées.

Le résultat est exactement la position résolue de départ après huit mouvements comptés ici comme huit quarts de tour. Le contrôle est refaisable : les six faces doivent retrouver leur couleur uniforme. Cet exemple montre pourquoi l'ordre des rotations est essentiel.

Pour apprendre à résoudre le cube, on répète de courtes suites de rotations et on observe quelles facettes elles déplacent. Une méthode par étapes est préférable aux essais au hasard dès que les mouvements commencent à défaire des zones déjà rangées.

Pour décrire une manipulation sans ambiguïté, on nomme la face tournée, le sens du quart de tour et l'ordre des gestes. Une démonstration seulement visuelle suffit pour imiter un mouvement isolé ; une notation écrite devient plus utile pour reproduire une longue séquence.

Pour comparer deux solutions d'une même position, on fixe d'abord la convention de comptage. On peut ensuite compter les mouvements de chaque suite ; sans cette convention commune, annoncer qu'une solution est plus courte n'est pas un test fiable.

Le Rubik's Cube et le cube géométrique. Le cube géométrique est un solide défini par ses faces, ses arêtes et ses sommets. Le Rubik's Cube est un objet articulé : si une face peut tourner et modifier la répartition des couleurs, il s'agit du casse-tête, pas seulement du solide abstrait.

Un mouvement et un algorithme. Un mouvement est une rotation autorisée d'une couche extérieure autour de son axe. Un algorithme est une procédure ordonnée comportant plusieurs opérations et un objectif. Ainsi, R est un mouvement dans la notation de l'exemple, tandis que R, U, R′, U′ forme une suite ordonnée.

Le nombre 20 demande un cadre précis. Il concerne le modèle 3 × 3 × 3 et une convention de comptage des mouvements. Si le modèle ou la façon de compter change, le symptôme est une comparaison de nombres qui ne mesurent plus la même chose. Il faut alors annoncer la variante et la convention avant de comparer.

Une méthode générale n'est pas nécessairement une solution la plus courte. Une procédure peut résoudre toutes les positions visées sans minimiser chaque suite. Il faut distinguer la garantie de parvenir au but de la preuve qu'aucune solution plus courte n'existe.

Les dimensions ne se remplacent pas terme à terme. Le Rubik's Revenge comporte 4 × 4 × 4 positions par découpage apparent des faces, contre 3 × 3 × 3 pour le modèle courant. Lorsqu'une procédure suppose neuf facettes par face, il faut employer une méthode adaptée au 4 × 4 × 4 plutôt que transposer mécaniquement toutes les étapes.

La fiche algorithme précise comment une suite finie d'opérations décrit une méthode reproductible, idée centrale pour formaliser une résolution.

La fiche cube - géométrie - replace la forme extérieure du casse-tête parmi les objets géométriques et aide à séparer solide abstrait et mécanisme articulé.