adjoint of an endomorphism

Imaginez une transformation qui déplace ou déforme les flèches d'un plan. On peut d'abord transformer une flèche, puis mesurer son alignement avec une autre grâce au produit scalaire. L'adjoint est l'unique transformation qui donne la même mesure lorsqu'on la fait agir de l'autre côté de ce produit.

Dans un repère orthonormé, son calcul est très concret : les lignes de la matrice deviennent ses colonnes. L'adjoint échange ainsi le rôle joué par les deux flèches dans le calcul, sans changer le nombre obtenu.

Un espace euclidien E est ici un espace vectoriel réel de dimension finie n > 0, muni d'un produit scalaire noté φ. Un endomorphisme f est une application linéaire de E dans lui-même. L'adjoint de f, noté f*, est l'unique endomorphisme qui transfère l'action de f du premier argument du produit scalaire vers le second. Pour tous les vecteurs x et y de E, il vérifie :

L'existence et l'unicité reposent sur le fait que, dans un espace euclidien de dimension finie, toute forme linéaire s'écrit de manière unique comme un produit scalaire avec un vecteur. Si A est la matrice de f dans une base orthonormale, la matrice de f* est la transposée A^T. Cette règle dépend du choix d'une base orthonormale ; dans une base quelconque, il faut aussi tenir compte de la matrice du produit scalaire.

Dans le plan ℝ² muni du produit scalaire usuel et de sa base orthonormale, on considère l'endomorphisme f de matrice A. Les données sont A = ((1, 2), (3, 4)), le vecteur x = (1, −1) et le vecteur y = (2, 1).

1. Transposer la matrice. Comme la base est orthonormale, la matrice de l'adjoint s'obtient en échangeant lignes et colonnes.

2. Calculer les deux transformations. On obtient f(x) = (−1, −1) et f*(y) = (5, 8). Chaque coordonnée provient du produit d'une ligne de la matrice par le vecteur correspondant.

3. Comparer les produits scalaires. Le calcul donne f(x) · y = (−1) × 2 + (−1) × 1 = −3. De l'autre côté, x · f*(y) = 1 × 5 + (−1) × 8 = −3.

La transposition déplace notamment les coefficients 2 et 3 de part et d'autre de la diagonale, tout en conservant l'égalité des deux produits scalaires.

4. Contrôler le résultat. Les deux valeurs sont exactement égales à −3, conformément à la définition de l'adjoint. Ce contrôle sur un couple de vecteurs illustre l'identité ; c'est la formule valable pour tous x et y qui caractérise réellement f*.

Pour calculer un adjoint en coordonnées, on choisit de préférence une base orthonormale et l'on transpose la matrice. Si la base disponible ne l'est pas, on conserve cette base mais on introduit la matrice de Gram du produit scalaire.

Pour tester si un endomorphisme est auto-adjoint, on compare f et f*. En base orthonormale réelle, cela revient à vérifier que la matrice est symétrique ; une simple égalité avec l'inverse testerait une autre propriété.

Dans les calculs de projections et d'orthogonalité, l'adjoint fait passer un opérateur d'un côté à l'autre du produit scalaire. Cette relation aide notamment à relier l'image d'un endomorphisme au noyau de son adjoint, sans résoudre deux problèmes indépendants.

Adjoint et transposée. L'adjoint est un endomorphisme défini par le produit scalaire ; la transposée est une opération sur une matrice. Les deux matrices coïncident dans une base orthonormale réelle, mais pas dans une base quelconque.

Adjoint et inverse. L'inverse annule l'effet de f par composition et n'existe que si f est bijectif. L'adjoint existe pour tout endomorphisme du cadre considéré. Dans l'exemple, le déterminant de A vaut −2 : A⁻¹ n'est donc pas A^T.

Adjoint d'un endomorphisme et matrice adjointe. Dans certains cours, la « matrice adjointe » désigne l'adjugée, obtenue à partir des cofacteurs et utilisée pour calculer une inverse. Ce n'est pas l'adjoint relatif à un produit scalaire. Pour A, l'adjugée vaut ((4, −2), (−3, 1)), tandis que A^T vaut ((1, 3), (2, 4)).

Base non orthonormale. Si A est la matrice de f, transposer directement A peut donner une mauvaise matrice pour f*. Si G est la matrice de Gram du produit scalaire dans cette base, il faut employer : $[f^{\ast }]=G^{-1}{A}^{T}G[f^*]=G^\{-1\}A^TG$.

Espace complexe. Le cadre euclidien de la définition est réel. Dans un espace hermitien complexe, les coefficients sont en plus conjugués : la matrice de l'adjoint en base orthonormale est la transposée-conjuguée, et non la seule transposée.

Dimension infinie. L'existence automatique utilisée ici vient de la dimension finie. Pour certains opérateurs non bornés sur un espace de Hilbert, le domaine de l'adjoint doit être défini avec soin et peut ne pas être l'espace entier.

Cas de dimension nulle. La source suppose n > 0. Dans l'espace réduit au vecteur nul, l'unique endomorphisme est aussi son propre adjoint, mais ce cas trivial est écarté du cadre annoncé.

Le produit scalaire précise la structure géométrique dont dépend l'adjoint et éclaire le rôle de l'orthogonalité.

La fiche Transposée détaille l'opération matricielle qui représente l'adjoint dans une base orthonormale réelle.

La notion de valeur propre prolonge l'étude des endomorphismes auto-adjoints, dont les valeurs propres sont réelles et les espaces propres orthogonaux.