Al-Khwarizmi's multiplication

Imaginez une surface couverte d'une fine couche de sable. On y trace les chiffres d'une multiplication, puis on lisse une petite zone pour supprimer ceux qui ne servent plus. La multiplication par glissement tire son fonctionnement de ce geste : écrire, déplacer le calcul et effacer les traces intermédiaires au fil de l'opération.

Le support fait donc partie de la méthode. Sur le sable ou la poussière, une correction ne laisse pas s'accumuler les anciens chiffres. Sur une feuille, ces effacements répétés rendent la procédure peu adaptée.

La multiplication d'Al-Khwarizmi est une procédure de calcul décrite par le mathématicien Al-Khwarizmi. Elle est aussi appelée multiplication par glissement. Sa particularité attestée ici ne réside pas seulement dans le produit recherché, mais dans la gestion matérielle des écritures intermédiaires.

Le calcul se pratique sur une couche de sable ou de poussière. Les chiffres utiles sont écrits sur cette surface ; ceux qui cessent d'intervenir sont effacés au fur et à mesure. La méthode suppose donc un support que l'on peut modifier continuellement. La source fournie ne précise ni la disposition exacte des chiffres ni l'ordre détaillé des glissements : ces éléments ne peuvent pas être reconstitués sans documentation supplémentaire.

Le papier, qui conserve normalement les écritures successives, convient mal à ce fonctionnement. La procédure a progressivement cédé la place à la multiplication per gelosia, puis aux algorithmes de multiplication en colonnes aujourd'hui usuels.

Prenons 23 × 14 comme repère numérique, et non comme démonstration pas à pas de la méthode historique. Les données sont les deux facteurs 23 et 14 ; le résultat attendu est leur produit. La source permet d'expliquer le geste matériel sur un support effaçable, mais pas de reconstituer la disposition des chiffres ni l'ordre du calcul.

Le seul enchaînement que l'on puisse décrire ici concerne le support : des chiffres utiles sont tracés sur le sable, puis la zone d'une écriture devenue inutile est lissée au lieu de conserver toutes les étapes. Faute d'une source précisant les écritures intermédiaires et leur ordre, ce geste ne suffit pas à guider le calcul historique de 23 × 14 jusqu'à 322.

Le contrôle peut être refait avec une décomposition moderne indépendante : 23 × 10 = 230 et 23 × 4 = 92, donc 230 + 92 = 322. Ce contrôle vérifie le résultat numérique ; il ne prétend pas décrire l'ordonnancement original de la multiplication par glissement.

Pour comprendre cette méthode aujourd'hui, on peut reproduire le geste sur un plateau couvert de sable : tracer quelques chiffres, puis lisser uniquement ceux devenus inutiles. Ce geste rend visible la dépendance entre l'algorithme et son support.

Pour effectuer et conserver un calcul, la multiplication en colonnes est préférable. La feuille garde alors les produits intermédiaires et les retenues, ce qui permet de relire chaque étape au lieu de l'effacer.

Pour suivre l'évolution des techniques écrites, on peut ensuite étudier la méthode per gelosia, puis la multiplication en colonnes. La source les présente comme des remplacements successifs : il faut donc conserver leurs noms distincts.

La multiplication per gelosia. Ce n'est pas un autre nom de la multiplication d'Al-Khwarizmi. Le rapport historique indiqué par la source tranche : la méthode per gelosia remplace progressivement la procédure par glissement. Un texte qui présente l'une comme succédant à l'autre décrit donc deux techniques distinctes.

La multiplication en colonnes. Elle est également distincte de la multiplication par glissement. La source la place après la méthode per gelosia parmi les remplacements de l'ancienne procédure. Si le calcul est organisé pour rester sur le papier plutôt que pour être effacé sur le sable, ce n'est pas le fonctionnement décrit ici.

Support non effaçable. Sur du papier sans possibilité d'effacement, les anciennes écritures s'accumulent au lieu de disparaître. Il faut alors employer une organisation conçue pour conserver les étapes, comme la multiplication en colonnes.

Reconstitution trop précise. Le nom « par glissement » et l'usage du sable n'autorisent pas, à eux seuls, à déduire un placement particulier des chiffres. Si une démonstration impose une disposition ou un ordre détaillé, elle doit s'appuyer sur une source historique complémentaire.

Effacement prématuré. Un chiffre supprimé alors qu'il intervient encore dans le calcul ne peut plus être relu sur le support. Le bon geste consiste à n'effacer qu'une écriture devenue inutile ; sinon, il faut la réinscrire avant de poursuivre.

La multiplication per gelosia montre la méthode qui a progressivement remplacé le calcul par glissement.

La notion d'algorithme aide à distinguer une suite d'opérations de son support matériel d'exécution.

L'article La géométrie des équations chez al-Khwārizmī situe une autre facette des travaux mathématiques associés à Al-Khwarizmi.