antiderivative

Imaginez que vous observiez seulement la vitesse d'un mobile à chaque instant et que vous cherchiez la distance dont elle provient. Une primitive effectue ce trajet à rebours : on connaît une fonction, puis on cherche une autre fonction dont la dérivée redonne exactement la première.

La réponse n'est pas unique. Ajouter une constante déplace la fonction obtenue vers le haut ou vers le bas, sans changer sa dérivée. Toutes les primitives gardent donc la même forme et ne diffèrent que par ce décalage vertical.

Soit f une fonction réelle définie sur un intervalle D. Une fonction F, elle aussi définie sur D, est une primitive de f sur cet intervalle si elle est dérivable en chaque point de D et si sa dérivée satisfait $F^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)F\text{'}(x)=f(x)$ pour tout nombre x de D. Le domaine et l'égalité en tout point font partie de la définition.

Si F est une primitive, toutes les fonctions obtenues en lui ajoutant une constante réelle C sont encore des primitives. Réciproquement, sur un intervalle, deux primitives F et G de la même fonction diffèrent d'une constante : $F(x)-G(x)=CF(x)-G(x)=C$.

La continuité de f sur D garantit l'existence d'une primitive. Après avoir fixé un point a de l'intervalle, on peut en construire une en accumulant les valeurs de f entre a et x : $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dtF(x)=\backslash int\_a^x\; f(t)\backslash ,dt$. Cette relation est au cœur du théorème fondamental du calcul intégral.

Une recherche de primitive met en jeu quatre éléments. La fonction f est la donnée de départ. L'intervalle D indique où l'on exige la relation. La fonction dérivable F est la réponse recherchée. Enfin, la constante réelle C décrit toute la famille des réponses.

La dérivée relie F à f point par point sur D. L'ajout de C modifie les valeurs de F, mais pas celles de sa dérivée. Ainsi, une primitive particulière et une constante arbitraire suffisent à écrire toutes les primitives sur l'intervalle : $F_C(x)=F(x)+CF\_C(x)=F(x)+C$. Le tracé ou la couleur d'une courbe n'intervient pas dans la définition.

Sur l'ensemble des nombres réels, la fonction donnée est $f(x)=2x+1f(x)=2x+1$. Nous cherchons une primitive, puis toute la famille des primitives.

1. Une fonction candidate est $F(x)=x^2+xF(x)=x^2+x$.
2. Sa dérivée vaut $F^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1F\text{'}(x)=2x+1$.
3. Cette dérivée étant égale à f pour tout réel x, F est bien une primitive.
4. Toutes les primitives s'écrivent $F_C(x)=x^2+x+CF\_C(x)=x^2+x+C$, où C est une constante réelle.

Un contrôle indépendant consiste à fixer l'origine en 0. Comme ${\int }_0^x(2t+1)dt=x^2+x\backslash int\_0^x\; (2t+1)\backslash ,dt=x^2+x$, l'intégrale construite avec ce point de départ retrouve la primitive pour laquelle F(0) = 0. La figure rend visible, au point d'abscisse 1, que la pente de la courbe de F vaut 3, tout comme f(1).

Pour vérifier une primitive proposée, on la dérive et l'on compare le résultat à la fonction de départ sur tout l'intervalle. Cette vérification directe est préférable à une simple ressemblance entre formules.

Pour calculer une intégrale définie lorsque l'on connaît une primitive, on évalue cette primitive aux deux bornes et on prend la différence. Si la primitive n'apparaît pas immédiatement, l'intégration par parties ou un changement de variables peut transformer le calcul.

Lorsqu'une valeur de la primitive est imposée en un point, cette condition détermine la constante additive. Sans une telle condition, il faut conserver la famille entière des solutions.

Primitive et dérivée. La dérivée part d'une fonction F pour produire f, tandis que la recherche d'une primitive part de f pour retrouver une fonction F. Ainsi, la dérivée de x² est 2x, alors que x² est une primitive de 2x.

Primitive et intégrale définie. Une primitive est une fonction et comporte une constante arbitraire. Une intégrale entre deux bornes fixées produit un nombre. Par exemple, x² + C décrit les primitives de 2x, tandis que l'intégrale de 2x entre 0 et 1 vaut 1.

Oublier la constante. Écrire seulement x² + x pour les primitives de 2x + 1 ne donne qu'un membre de la famille. Si aucune valeur initiale n'est imposée, il faut écrire x² + x + C.

Négliger l'intervalle. L'affirmation selon laquelle deux primitives diffèrent d'une seule constante repose sur un domaine qui est un intervalle. Sur un domaine formé de plusieurs intervalles séparés, la différence peut prendre une constante distincte sur chaque composante. Il faut alors traiter chaque intervalle séparément.

Prendre une condition suffisante pour une définition. La continuité de f garantit qu'une primitive existe, mais la définition demande seulement qu'une fonction F dérivable vérifie F' = f. Il faut donc distinguer le critère d'existence fourni par la continuité de la relation qui caractérise une primitive.

Intégration par parties. Cette technique transforme la primitive d'un produit en échangeant dérivation et intégration entre deux facteurs.

Changement de variables. Cette méthode remplace la variable afin de ramener une intégrale à une forme dont une primitive est reconnaissable.