Archimedean spiral

Imaginez une demi-droite qui tourne régulièrement autour de son origine. Pendant ce temps, un point s'éloigne de cette origine à vitesse constante le long de la demi-droite. Sa trajectoire s'enroule en gardant le même écart d'un tour au suivant : c'est une spirale d'Archimède.

Le paramètre choisi règle cet écartement. Plus il est grand, plus les spires sont espacées. Le sillon d'un disque vinyle donne une image concrète de ce mouvement combinant rotation et progression radiale.

La spirale d'Archimède est une courbe plane décrite en coordonnées polaires. L'angle θ repère la rotation de la demi-droite, la distance ρ mesure l'éloignement du point à l'origine et le paramètre réel positif a fixe la progression radiale par unité d'angle. Ces grandeurs vérifient :

Lorsque l'angle augmente d'un tour complet, soit 2π radians, le rayon augmente de 2πa. Deux spires successives ont donc un écart radial constant. La courbe est transcendante. La famille parfois appelée « spirales archimédiennes » obéit plus généralement à ${\rho }^m=a^m{\theta }^n\backslash rho^m=a^m\backslash theta^n$ ; la spirale d'Archimède en est un cas particulier. Sa découverte est attribuée à Conon de Samos, contemporain d'Archimède de Syracuse, et Sacchi en a donné une étude plus systématique en 1854.

Prenons une spirale dont le paramètre a vaut 1 cm/rad. Les données sont l'angle initial 0 rad, un demi-tour égal à π rad et un tour égal à 2π rad. Le rayon ρ est exprimé en centimètres.

1. À 0 rad, calculez ρ = 1 × 0 = 0 cm : la courbe part de l'origine.
2. À π/2 rad, calculez ρ = π/2 cm ≈ 1,57 cm.
3. À π rad, calculez ρ = π cm ≈ 3,14 cm.
4. À 2π rad, calculez ρ = 2π cm ≈ 6,28 cm.

Après un tour, le point se trouve donc à environ 6,28 cm de l'origine. Pour contrôler l'écartement, comparez deux angles séparés de 2π : le rayon gagne exactement 2π cm, quel que soit l'angle de départ. La figure matérialise ces quatre positions calculées et le premier tour de la courbe.

Pour tracer la courbe, on choisit une valeur positive de a, puis on augmente l'angle par pas réguliers. À chaque pas, on calcule le rayon ρ = aθ et on place le point correspondant dans le repère polaire.

Pour vérifier qu'un tracé suit ce modèle, on compare les rayons obtenus à deux angles séparés d'un tour. Un gain radial constant de 2πa caractérise l'équation ρ = aθ ; un gain variable conduit à chercher une autre loi.

Le sillon d'un disque vinyle fournit un support concret : la rotation du disque joue le rôle de l'angle, tandis que la progression de l'aiguille vers l'extérieur correspond à la variation du rayon.

Une spirale d'Archimède vérifie précisément ρ = aθ avec a positif. Les spirales archimédiennes désignent parfois la famille plus générale ρᵐ = aᵐθⁿ. Si les exposants choisis ne ramènent pas la relation à ρ = aθ, la courbe appartient éventuellement à la famille sans être la spirale d'Archimède elle-même.

Le paramètre a doit être réel et strictement positif dans la définition retenue. À la valeur charnière a = 0, l'équation donne toujours ρ = 0 : le tracé se réduit à l'origine et ne forme plus la spirale décrite.

L'écartement constant se mesure radialement entre deux positions dont les angles diffèrent exactement de 2π radians. Une distance prise au hasard entre deux arcs ne teste pas cette propriété ; il faut comparer les rayons sur une même demi-droite.

La formule généralisée ρᵐ = aᵐθⁿ ne garantit pas, à elle seule, l'écartement constant de la spirale d'Archimède. Il faut revenir au cas particulier ρ = aθ avant d'appliquer le gain radial 2πa par tour.

Les coordonnées polaires approfondissent le repérage par un angle et une distance à l'origine.

La spirale logarithmique permet de mettre cette courbe en regard d'une autre notion de spirale.

L'article Comment Archimède a quarré sa spirale prolonge la lecture vers un problème associé à cette courbe.