Aubry's theorem

Sur le cercle x² + y² = 25, le point de coordonnées 7/5 et 24/5 se trouve exactement sur le tracé. Ses coordonnées sont rationnelles, mais pas entières.

Le théorème d'Aubry garantit alors qu'un autre point du même cercle possède deux coordonnées entières. Ici, le point (3 ; 4) convient. Le résultat transforme donc une information d'existence : trouver un point rationnel suffit pour savoir qu'un point entier existe aussi.

Le théorème d'Aubry porte sur un entier naturel, noté n, représenté comme somme de deux carrés. Supposons qu'il existe deux nombres rationnels, notés x et y, tels que x² + y² = n. Le théorème affirme alors l'existence de deux nombres entiers, notés a et b, qui vérifient a² + b² = n. Les rationnels x et y peuvent déjà être entiers ; le résultat est surtout informatif lorsqu'au moins l'un d'eux ne l'est pas.

Dans un repère orthonormé, l'équation x² + y² = n décrit le cercle centré à l'origine dont le rayon vaut la racine carrée de n. La formulation arithmétique équivaut donc à ceci : la présence d'un point rationnel sur ce cercle entraîne celle d'un point entier. Le théorème garantit une existence ; il n'affirme ni que le point rationnel initial est entier, ni que ses coordonnées doivent être arrondies.

Soit n un entier naturel. S'il existe deux rationnels x et y tels que x² + y² = n, alors il existe deux entiers a et b tels que a² + b² = n. Autrement dit, pour un entier naturel, l'existence d'une représentation rationnelle comme somme de deux carrés implique l'existence d'une représentation entière.

Le nombre n doit être un entier naturel. Il faut connaître l'existence d'au moins un couple de rationnels dont la somme des carrés vaut exactement n. La conclusion porte sur l'existence d'un couple d'entiers donnant exactement le même nombre.

Le nombre 5/2 fournit un contre-cas au domaine d'application : (3/2)² + (1/2)² = 5/2, mais 5/2 n'est pas entier. Le théorème d'Aubry ne s'applique donc pas. Il faut conserver la représentation rationnelle ou employer un résultat portant sur des nombres non entiers.

On prend l'entier naturel n = 25 et les deux rationnels x = 7/5 et y = 24/5. On cherchera ensuite deux entiers, notés a et b, qui représentent le même nombre.

1. On vérifie la représentation rationnelle :
Les deux coordonnées ne sont pas entières, mais leur somme de carrés est bien l'entier 25.

2. Les hypothèses du théorème d'Aubry sont réunies. Il existe donc des entiers a et b tels que a² + b² = 25.

3. Le couple a = 3 et b = 4 réalise la conclusion, puisque 3² + 4² = 9 + 16 = 25.

4. Géométriquement, les points (7/5 ; 24/5) et (3 ; 4) sont sur le cercle x² + y² = 25. La figure matérialise ces deux témoins. Pour contrôler le résultat, on recalcule séparément les deux sommes et on retrouve 25 dans chaque cas.

Lorsqu'une représentation rationnelle d'un entier naturel est déjà connue, le théorème fournit immédiatement un certificat d'existence d'une représentation entière. Il évite de confondre l'absence de couple entier trouvé avec une impossibilité.

Pour un petit entier, une recherche directe des carrés entiers peut donner le couple lui-même. Le théorème est préférable quand la question demande seulement de prouver l'existence à partir d'un point rationnel connu.

Dans la lecture géométrique, on vérifie d'abord que le cercle x² + y² = n possède un point rationnel. Si n est bien naturel, Aubry assure alors un point entier ; si n ne l'est pas, cette conclusion n'est pas disponible.

Point rationnel et point entier. Un point entier est automatiquement rationnel, mais la réciproque est fausse. Sur le cercle de l'exemple, (7/5 ; 24/5) est rationnel sans être entier, tandis que (3 ; 4) est entier.

Existence et arrondi. Le théorème garantit un couple entier, sans demander d'arrondir le couple rationnel. Arrondir (7/5 ; 24/5) en (1 ; 5) donne 1² + 5² = 26, et non 25.

Théorème d'Aubry et théorème des deux carrés. L'énoncé d'Aubry suppose explicitement une représentation rationnelle et conclut à une représentation entière. Un énoncé qui classe directement les entiers représentables répond à une autre question.

La conclusion est existentielle. À partir du point (7/5 ; 24/5), le théorème assure qu'un point entier existe, mais son énoncé ne fournit pas à lui seul les coordonnées (3 ; 4). Une recherche supplémentaire peut être nécessaire pour les obtenir.

L'hypothèse « entier naturel » est décisive. L'égalité (3/2)² + (1/2)² = 5/2 ne déclenche aucune conclusion entière : une somme de deux carrés d'entiers est elle-même entière.

Le point obtenu peut être différent. Le passage du rationnel à l'entier ne conserve ni les coordonnées ni leur proximité. L'échec de l'arrondi (1 ; 5), dont la somme des carrés vaut 26, le montre dans l'exemple.

Zéro n'est pas exclu des carrés. Pour 25, le couple entier (0 ; 5) vérifie aussi la conclusion. L'énoncé source n'impose pas que les deux coordonnées soient non nulles ; il ne faut pas ajouter cette condition.

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