automorphism - general algebra -

Imaginez une règle qui réorganise parfaitement un objet mathématique sans en changer les relations. Chaque élément obtient une unique image, et chaque élément peut être retrouvé en remontant la règle.

Une telle transformation est un automorphisme lorsqu'elle part d'une structure algébrique et revient dans cette même structure. Elle conserve toutes les opérations qui définissent l'objet. Dans le groupe additif des nombres réels, doubler chaque nombre en fournit un exemple : les sommes restent des sommes correspondantes et la division par deux permet de revenir au départ.

Soit une structure algébrique, par exemple un groupe, un anneau ou un espace vectoriel. Un automorphisme est une application de cette structure dans elle-même qui satisfait deux exigences indépendantes : elle préserve toutes les opérations de la structure, et elle est bijective. C'est donc à la fois un endomorphisme et un isomorphisme dont le domaine et le codomaine sont le même objet.

Dans un groupe dont l'opération est notée +, une application f préserve la structure lorsque, pour tous éléments x et y, $f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)$. Sa bijectivité signifie que chaque élément d'arrivée possède exactement un antécédent. L'application inverse existe alors et préserve elle aussi l'opération : c'est encore un automorphisme.

L'application identité est toujours un automorphisme. La composée de deux automorphismes et l'inverse de chacun en sont aussi. Munis de la composition, tous les automorphismes d'une structure forment ainsi son groupe des automorphismes. Ce groupe décrit les symétries internes qui respectent exactement la structure choisie.

Considérons le groupe additif des nombres réels. L'application f associe à tout réel x le réel 2x. Pour tester la conservation de l'addition, prenons x = 3 et y = −1.

1. La somme de départ vaut 3 + (−1) = 2.
2. Son image vaut f(2) = 4.
3. Séparément, les images valent f(3) = 6 et f(−1) = −2.
4. Leur somme vaut 6 + (−2) = 4. Nous obtenons donc le même résultat par les deux chemins.

Cette vérification sur deux nombres illustre l'identité générale $f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y)$. De plus, tout réel z possède l'unique antécédent z/2. L'application inverse associe donc z à z/2. Elle permet le contrôle refaisable suivant : 4 est envoyé sur 2, puis 2 est renvoyé sur 4. L'application f est bien un automorphisme du groupe additif des réels.

Pour reconnaître une symétrie algébrique, on vérifie d'abord que l'application reste dans la même structure et conserve chacune de ses opérations. Si elle relie plutôt deux structures distinctes, le terme adapté est isomorphisme.

On recherche ensuite une application inverse. Une formule inverse explicite, comme la division par deux pour l'application qui double un réel, établit en même temps que chaque valeur est atteinte une fois et une seule.

Enfin, le groupe des automorphismes sert à comparer toutes les symétries internes d'un même objet. Sa loi est la composition : effectuer une symétrie puis une autre produit encore une symétrie de la structure.

Endomorphisme. Il conserve la structure et va d'un objet vers lui-même, mais il n'est pas nécessairement bijectif. Dans le groupe additif des entiers, l'application qui envoie tout entier sur 0 est un endomorphisme, pas un automorphisme.

Isomorphisme. Il est bijectif et conserve la structure, mais son domaine et son codomaine peuvent être deux objets distincts. Un automorphisme est précisément le cas où l'objet de départ et l'objet d'arrivée sont le même.

Bijection. Elle associe chaque élément d'arrivée à un unique élément de départ, sans garantir la conservation des opérations. Une permutation bijective des éléments d'un groupe peut donc ne pas être un automorphisme.

Une opération oubliée. Pour une structure qui porte plusieurs opérations, en préserver une seule ne suffit pas. Dans un anneau, il faut respecter l'addition et la multiplication, ainsi que les constantes distinguées lorsque la définition adoptée les inclut.

Un test sur quelques valeurs. Les calculs avec 3 et −1 illustrent la règle, mais ne la prouvent pas pour tous les réels. Il faut établir l'identité de conservation pour des éléments quelconques, puis démontrer la bijectivité.

La structure n'est pas précisée. Une même application peut être un automorphisme pour une structure et échouer pour une autre. L'application qui double les réels est un automorphisme du groupe additif, mais elle ne préserve pas la multiplication puisque, en général, 2xy n'est pas égal à 4xy.

L'objet d'arrivée change. Même si deux structures ont les mêmes éléments sous-jacents, il faut vérifier qu'il s'agit bien du même objet algébrique avec les mêmes opérations. Sinon, l'application peut être un isomorphisme sans être un automorphisme.

Le groupe des automorphismes révèle jusqu'où une structure peut se transformer sans perdre ses opérations. Parmi ses éléments, certains proviennent directement de la structure du groupe lui-même.

Automorphisme intérieur — Cette notion montre comment la conjugaison par un élément produit une famille particulière d'automorphismes d'un groupe.