average man

Imaginez quatre personnes dont on relève l'âge et la taille. On calcule séparément l'âge moyen et la taille moyenne, puis on réunit ces deux résultats dans un même portrait. Ce portrait est l'« homme moyen » : un individu fictif construit avec les moyennes du groupe.

Il décrit un centre statistique, pas nécessairement quelqu'un que l'on peut rencontrer. Aucun membre du groupe ne doit obligatoirement posséder toutes les caractéristiques moyennes à la fois.

L'homme moyen est un individu fictif associé à une population et à une liste précise de caractéristiques numériques. Pour chaque caractéristique, sa valeur est la moyenne calculée sur la population. Si la population contient n individus et si la valeur de la caractéristique pour le i^e individu est notée x_i, la valeur moyenne, notée x̄, est donnée par :

Le portrait dépend donc de la population retenue, des caractéristiques choisies et de la notion de moyenne employée. Il ne prétend pas être un individu observé ni résumer toute la dispersion des données. Buffon introduisit la notion au XVIII^e siècle dans ses réflexions sur l'arithmétique morale. Quételet la formalisa en 1835 dans sa « physique sociale ». Cournot en 1843 puis Bertrand en 1889 en critiquèrent les ambiguïtés et les résultats aberrants possibles. En 1949, Fréchet en proposa une réhabilitation partielle grâce à une généralisation plus rigoureuse de la moyenne.

Considérons quatre personnes fictives. Leurs âges sont 20, 30, 40 et 50 ans. Leurs tailles respectives sont 160, 180, 170 et 190 cm. Les deux listes suivent le même ordre : la première personne a 20 ans et mesure 160 cm, et ainsi de suite.

1. La somme des âges vaut 20 + 30 + 40 + 50 = 140 ans. L'âge moyen vaut donc 140 / 4 = 35 ans.

2. La somme des tailles vaut 160 + 180 + 170 + 190 = 700 cm. La taille moyenne vaut donc 700 / 4 = 175 cm.

3. Pour ces deux caractéristiques, l'homme moyen a 35 ans et mesure 175 cm. Le graphique associe chaque personne à un point et le profil moyen à l'intersection des deux moyennes.

4. Aucune des quatre personnes n'a ce couple de valeurs. Le résultat est néanmoins vérifiable : 35 × 4 = 140 ans et 175 × 4 = 700 cm. Le profil moyen décrit le centre des données choisies, non un cinquième individu réel.

Pour résumer plusieurs mesures d'une population, on peut construire un profil moyen en annonçant la population, les variables et leurs unités. Si l'on veut connaître la diversité du groupe, ce seul profil ne suffit pas : il faut aussi examiner la dispersion des valeurs.

Pour comparer deux populations, on peut confronter leurs profils moyens à condition d'avoir mesuré les mêmes caractéristiques de la même manière. Si les groupes ou les mesures diffèrent, la comparaison des moyennes devient trompeuse.

Pour décrire un individu représentatif, il faut vérifier si le profil moyen est plausible et observé. Lorsque quelques valeurs extrêmes déplacent fortement une moyenne, une médiane ou la distribution complète peut mieux répondre à la question posée.

Homme moyen et individu réel. Le premier est construit par calcul ; le second appartient effectivement à la population. Dans l'exemple, le profil de 35 ans et 175 cm est l'homme moyen, alors qu'aucune des quatre personnes ne possède ces deux valeurs.

Moyen et médian. Une moyenne combine toutes les valeurs, tandis qu'une médiane partage une série ordonnée en deux groupes. Une valeur extrême peut déplacer la moyenne sans déplacer autant la médiane ; le calcul choisi peut donc désigner des centres différents.

Profil moyen et profil le plus fréquent. Le profil moyen rassemble des valeurs moyennes ; le profil le plus fréquent devrait réunir des valeurs ou combinaisons effectivement les plus courantes. Une moyenne peut n'apparaître aucune fois dans les observations.

Portrait introuvable. Des moyennes calculées séparément peuvent former une combinaison absente de la population. Le symptôme est immédiat dans l'exemple : zéro personne sur quatre a simultanément 35 ans et 175 cm. Il faut présenter le résultat comme un profil fictif, puis consulter les observations réelles.

Caractéristiques incompatibles. Certaines combinaisons moyennes peuvent être impossibles ou dépourvues de sens. Avant de fabriquer le portrait, il faut vérifier que chaque moyenne est définie et que leur réunion décrit un objet admissible. Ce type d'aberration fait partie des critiques adressées à la notion.

Population ou variables mal précisées. Changer de population ou de caractéristique change le profil. Un résultat sans périmètre, unité et liste de variables ne peut pas être interprété correctement ; il faut fournir ces éléments avec les moyennes.

Dispersion effacée. Deux populations peuvent partager les mêmes moyennes tout en ayant des répartitions très différentes. Il faut compléter le profil par les données ou des indicateurs de dispersion avant d'en tirer une conclusion sur les individus.

valeur moyenne — Pour approfondir le calcul qui fournit chaque coordonnée numérique du profil moyen.

statistique descriptive — Pour replacer la moyenne parmi les outils qui résument et décrivent une population.

Fréchet Maurice — Pour situer le mathématicien associé en 1949 à la réhabilitation partielle de la notion.