Borel–Cantelli lemma
Le lemme de Borel-Cantelli est un résultat fondamental des probabilités. Il comporte deux parties. La première affirme que si la série des probabilités P(A_n) converge, alors la probabilité que l'événement 'A_n se produit une infinité de fois' est nulle. La seconde partie (sous hypothèse d'indépendance) affirme que si la série des P(A_n) diverge et si les événements sont indépendants, alors la probabilité que A_n se produise infiniment souvent est 1. Ce lemme est essentiel pour prouver des résultats de convergence presque sûre.
Contents
What you will learn
- Distinguer les hypothèses et conclusions des deux parties du lemme.
- Interpréter précisément l’expression « infiniment souvent ».
- Vérifier sur un exemple pourquoi une série de probabilités converge.
- Repérer pourquoi la divergence ne suffit pas sans indépendance.
In plain terms
Imaginez une suite d’essais où un voyant peut s’allumer. Si la chance d’allumage diminue assez vite pour que la somme de toutes ces chances reste finie, le voyant ne s’allumera qu’un nombre fini de fois, avec probabilité 1.
À l’inverse, si cette somme est infinie et si les essais sont indépendants, le voyant s’allumera encore et encore, aussi loin que l’on poursuive l’expérience, avec probabilité 1. Le lemme transforme ainsi une somme de probabilités en information sur la répétition à long terme.
Definition
Soit une suite d’événements, notée (An)n≥1, définie sur un même espace probabilisé. L’événement « An se produit infiniment souvent » rassemble les issues qui appartiennent à une infinité de ces événements. Il s’écrit comme la limite supérieure de la suite : . Autrement dit, quel que soit le rang N choisi, un événement An se réalise encore après ce rang.
Le lemme de Borel-Cantelli relie cet événement à la série formée par les probabilités P(An). Si cette série converge, la limite supérieure a une probabilité nulle, sans aucune hypothèse d’indépendance. Si la série diverge et si les événements sont indépendants, cette limite supérieure a une probabilité égale à 1. Ces conclusions portent sur ce qui arrive presque sûrement : elles autorisent encore des issues exceptionnelles de probabilité nulle.
The principle
Pour une suite d’événements (An) définie sur un même espace probabilisé, deux implications s’appliquent. Si , alors . Si les événements sont indépendants et si , alors . La première implication ne requiert pas l’indépendance ; la seconde en a besoin.
When to use it
Les événements An doivent appartenir au même espace probabilisé, et leur probabilité doit être connue ou majorée assez précisément pour décider si la série converge. Pour conclure à une probabilité nulle de répétition infinie, cette convergence suffit, même lorsque les événements dépendent les uns des autres.
Pour conclure au contraire à une répétition infinie presque sûre, il faut à la fois une série divergente et l’indépendance des événements. Si tous les An sont égaux au même événement A de probabilité 1/2, la série diverge, mais l’événement se répète infiniment souvent seulement lorsque A se réalise, donc avec probabilité 1/2. Dans ce contre-cas, la seconde partie du lemme ne s’applique pas.
A step-by-step example
Un dispositif effectue des essais numérotés à partir de n = 2. À l’essai n, un voyant rouge s’allume avec la probabilité 1/n2. On note An l’événement « le voyant s’allume à l’essai n ». Les événements peuvent être dépendants : la première partie du lemme n’exige pas leur indépendance.
Données :
le rang initial est 2 ;
P(An) = 1/n2 ;
on cherche si le voyant s’allume une infinité de fois.
Les cinq premières probabilités montrent la diminution rapide que le calcul va certifier.
le rang initial est 2 ;
P(An) = 1/n2 ;
on cherche si le voyant s’allume une infinité de fois.
Les cinq premières probabilités montrent la diminution rapide que le calcul va certifier.
1. Pour tout entier n ≥ 2, on compare la probabilité à une différence télescopique : .
2. Jusqu’au rang N, la somme de ces majorants vaut .
3. Les sommes partielles des probabilités restent donc inférieures à 1 ; la série converge.
4. Le premier lemme donne P(An infiniment souvent) = 0.
2. Jusqu’au rang N, la somme de ces majorants vaut .
3. Les sommes partielles des probabilités restent donc inférieures à 1 ; la série converge.
4. Le premier lemme donne P(An infiniment souvent) = 0.
Le voyant peut encore s’allumer plusieurs fois, mais presque toute suite d’essais ne contient qu’un nombre fini d’allumages. Le contrôle est refaisable à tout rang N : le majorant exact 1 − 1/N reste inférieur à 1 et tend vers 1.
In practice
Pour prouver qu’un comportement indésirable finit par disparaître, on décrit l’événement An « l’erreur se produit encore au rang n », puis on cherche une majoration dont la série converge. Cette voie convient même lorsque les erreurs sont dépendantes.
Pour établir qu’un phénomène revient indéfiniment, on vérifie plutôt que la somme des probabilités diverge et que les événements sont indépendants. Si l’indépendance manque, la divergence seule ne suffit pas et il faut étudier directement les dépendances.
Dans une preuve de convergence presque sûre, le lemme sert souvent à contrôler les dépassements d’un seuil. On estime leurs probabilités, on montre que leur somme est finie, puis on conclut que seuls un nombre fini de dépassements subsistent presque sûrement.
Not to be confused with
Événements indépendants et événements incompatibles. Deux événements indépendants peuvent se produire ensemble : pour deux lancers de pièce, « le premier donne face » et « le second donne face » ont une intersection de probabilité 1/4. Deux événements incompatibles ont au contraire une intersection vide.
Convergence de la série et convergence des événements. Le lemme étudie la série numérique des P(An) et l’événement d’appartenir à une infinité de An. Il n’affirme pas qu’une suite d’événements « converge » au sens ordinaire.
Limits and pitfalls
Divergence sans indépendance. Une somme infinie ne force pas la répétition presque sûre. Si An = A pour tout n et P(A) = 1/2, la somme diverge alors que la probabilité de répétition infinie vaut 1/2. Il faut contrôler la dépendance avant d’utiliser la seconde partie.
Probabilité nulle ne signifie pas impossibilité. Lorsque la série converge, certaines issues exceptionnelles peuvent encore appartenir à une infinité de An. Le lemme dit que l’ensemble de ces issues a une probabilité nulle, pas qu’il est nécessairement vide.
Probabilité 1 ne signifie pas universalité. Dans la seconde partie, des issues de probabilité nulle peuvent échapper à la répétition infinie. La conclusion correcte est « presque sûrement », et non « pour toute issue ».
Le cas charnière des puissances. Pour α > 0 et des événements indépendants tels que P(An) = 1/nα, la série converge lorsque α > 1 et diverge lorsque α ≤ 1. Le seuil α = 1 sépare donc les deux conclusions de Borel-Cantelli.
Further reading
La fiche convergence presque sûre montre comment traduire une propriété vraie avec probabilité 1 en mode de convergence de variables aléatoires.
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