Bound vector (physics)

Imaginez une flèche de même longueur, orientée de la même façon, que l'on pose successivement sur deux points d'un objet. La flèche seule n'a pas changé, mais l'action décrite n'est plus attachée au même endroit.

Un vecteur lié conserve donc deux informations : le vecteur, qui donne une grandeur et, hors du cas nul, une direction et un sens, puis son point d'application. Déplacer la flèche sans conserver ce point produit en général un autre vecteur lié.

Dans un espace affine, un vecteur lié est un couple formé d'un point d'application, noté A, et d'un vecteur libre, noté $\vec{v}\backslash vec\{v\}$. Le vecteur libre porte une norme et, s'il n'est pas nul, une direction et un sens ; le point A localise cette information. Le couple s'écrit $(A,\vec{v})(A,\backslash vec\{v\})$.

À partir de A et de $\vec{v}\backslash vec\{v\}$, il existe un unique point B tel que $\overrightarrow{AB}=\vec{v}\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash vec\{v\}$. Le couple ordonné de points (A, B) est alors un bipoint : A est son origine et B son extrémité. Inversement, ce bipoint détermine le point d'application A et le vecteur libre associé.

En mécanique, cette représentation sert lorsqu'une grandeur vectorielle doit être localisée. Pour décrire le mouvement global d'un solide, le centre de gravité est un point d'application fréquent, mais ce choix n'est pas universel : une vitesse locale, une accélération ou un champ s'attache au point où la grandeur est considérée. Les composantes numériques dépendent du repère choisi, tandis que le couple géométrique ne se réduit pas à son dessin dans ce repère.

Un vecteur lié réunit quatre éléments lisibles. Le point d'application A fixe l'origine de la représentation. Le vecteur libre fixe la norme et, s'il n'est pas nul, la direction et le sens. Une fois ces deux données choisies, l'extrémité B est déterminée par la translation qui envoie A sur B. Enfin, un repère permet, si nécessaire, de donner des coordonnées au point et des composantes au vecteur.

Le bipoint (A, B) et le couple point–vecteur contiennent donc la même information. En revanche, la couleur de la flèche, son épaisseur et l'échelle du dessin ne définissent pas l'objet. Une flèche plus petite sur la page peut représenter la même grandeur si l'échelle change ; elle ne représente le même vecteur lié que si le point d'application et le vecteur libre sont tous deux conservés.

Une force agit sur un point matériel situé au point A. Dans un repère orthonormé, sa composante horizontale vaut 3 N vers la droite et sa composante verticale vaut 4 N vers le haut. Le point A et le vecteur force sont les deux données du vecteur lié.

1. On note le vecteur force $\vec{F}=(3,4)\mathrm{N}\backslash vec\{F\}=(3,4)\backslash ,\backslash mathrm\{N\}$ dans ce repère.

2. On calcule sa norme avec le théorème de Pythagore :

3. On trace depuis A une flèche dont les projections représentent 3 N horizontalement et 4 N verticalement. Le couple formé par A et cette force est le vecteur lié.

4. Pour contrôler le dessin, on vérifie que le déplacement horizontal et le déplacement vertical respectent la même échelle. Le triangle obtenu doit avoir des côtés proportionnels à 3, 4 et 5.

La norme est donc exactement 5 N. Reproduire la même flèche depuis un point C conserverait le vecteur libre, mais donnerait le vecteur lié $(C,\vec{F})(C,\backslash vec\{F\})$, distinct tant que C n'est pas A.

Pour modéliser une action sur un point matériel, on attache la force au point où elle s'exerce. Si seul le déplacement parallèle de la flèche importe dans un calcul vectoriel abstrait, un vecteur libre suffit.

Dans l'étude du mouvement d'un solide, une vitesse ou une accélération doit être associée au point concerné. Pour le mouvement d'ensemble, le centre de gravité sert souvent de point de référence ; pour une rotation, les points du solide peuvent avoir des vitesses différentes.

Pour choisir la bonne représentation, posez une question observable : déplacer le point d'application change-t-il l'information physique étudiée ? Si oui, gardez le vecteur lié. Si le point peut coulisser sur une droite d'action sans changer l'effet retenu, le modèle du vecteur glissant est plus adapté.

Vecteur libre. Il conserve le vecteur géométrique, mais aucun point d'application. Deux flèches équipollentes placées en A et en C représentent le même vecteur libre ; elles représentent deux vecteurs liés distincts si A et C diffèrent.

Vecteur glissant. Il est attaché à une droite affine, appelée droite d'action, plutôt qu'à un point unique. Deux origines différentes sur cette même droite peuvent décrire le même vecteur glissant, alors qu'elles ne donnent pas le même vecteur lié.

Vecteur-position. Il relie l'origine d'un repère à un point et change si cette origine change. Un vecteur lié peut avoir n'importe quel point d'application ; son point d'application n'est pas nécessairement l'origine du repère.

Vecteur nul. Si la norme vaut exactement 0, la direction et le sens ne sont pas définis. Le couple formé du point A et du vecteur nul reste néanmoins un vecteur lié ; il ne faut pas inventer une orientation à sa flèche réduite à un point.

Point déplacé. Copier les mêmes composantes en un autre point conserve le vecteur libre, pas le vecteur lié. Le symptôme est simple : l'origine de la flèche ne coïncide plus avec A. Il faut alors noter le nouveau couple ou replacer la flèche en A.

Repère ou échelle modifiés. Des composantes différentes peuvent décrire le même vecteur géométrique après un changement de repère, et des longueurs dessinées différentes après un changement d'échelle. Il faut comparer les grandeurs dans un même repère et avec une même échelle avant de conclure.

Centre de gravité. Ce point est fréquent pour décrire le mouvement global d'un solide, mais il n'est pas le point d'application obligatoire de tout vecteur physique. Il faut identifier le point auquel la vitesse, l'accélération, la force ou le champ est effectivement associé.

Le bipoint donne la formulation mathématique par un couple ordonné de points et précise le passage à une classe de bipoints équipollents.

Le vecteur glissant montre ce qui change lorsque le point d'application peut se déplacer le long d'une droite d'action.

Le centre de gravité approfondit le point de référence souvent choisi pour étudier le mouvement global d'un solide.