GéométrieNotion · Glossaire
bipoint
Un bipoint est un couple ordonné de points (A, B) d'un espace géométrique. La notion de bipoint est à la base de la définition formelle du vecteur : un vecteur peut être défini comme une classe d'équivalence de bipoints pour la relation d'équipollence, deux bipoints (A, B) et (C, D) étant équipollents si et seulement si ABDC est un parallélogramme (ou, en termes algébriques, si B − A = D − C dans un espace affine).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Distinguer un bipoint d'une paire de points, d'un segment et d'un vecteur.
- Tester l'équipollence de deux bipoints par une différence de coordonnées.
- Relier le parallélogramme ABDC à la classe d'équivalence qui définit un vecteur.
En clair
Placez deux points A et B sur une feuille. Les considérer dans cet ordre donne le bipoint (A, B) : A est le point de départ et B le point d'arrivée. Ce petit objet retient donc davantage que les deux points pris séparément.
On peut l'imaginer comme un déplacement qui mène de A vers B. Inverser l'ordre produit (B, A), le déplacement opposé. Plusieurs bipoints placés ailleurs peuvent néanmoins représenter le même vecteur s'ils décrivent exactement le même déplacement.
Définition
Dans un espace géométrique, un bipoint est un couple ordonné (A, B) formé de deux points. Le premier point A est son origine et le second point B son extrémité. L'ordre appartient à la définition : en général, (A, B) et (B, A) sont distincts. Les deux points peuvent toutefois coïncider ; le bipoint (A, A) représente alors un déplacement nul.
Dans un espace affine, deux bipoints (A, B) et (C, D) sont dits équipollents lorsqu'ils décrivent le même déplacement. En notant B − A le vecteur qui mène de A à B, le critère s'écrit :
Géométriquement, cette égalité signifie que le quadrilatère dont les sommets sont parcourus dans l'ordre A, B, D, C est un parallélogramme, éventuellement dégénéré. L'équipollence est une relation d'équivalence : elle regroupe tous les bipoints qui ont le même déplacement. Un vecteur peut ainsi être défini comme une classe d'équivalence de bipoints, sans origine ni extrémité privilégiées.
Un exemple, pas à pas
Dans le plan muni d'un repère, on veut savoir si deux bipoints représentent le même vecteur. Les données sont les points A(1, 2), B(4, 3), C(−2, 0) et D(1, 1).
1. Pour le bipoint (A, B), soustrayez les coordonnées de A à celles de B. On obtient B − A = (4 − 1, 3 − 2) = (3, 1).
2. Pour le bipoint (C, D), effectuez la même opération. On obtient D − C = (1 − (−2), 1 − 0) = (3, 1).
3. Les deux différences sont égales. Les bipoints (A, B) et (C, D) sont donc équipollents et représentent le même vecteur.
4. Contrôlez le résultat autrement. Dans le quadrilatère ABDC, le milieu de la diagonale [AD] est (1, 3/2), tout comme celui de la diagonale [BC]. Les diagonales ont le même milieu, ce qui confirme qu'ABDC est un parallélogramme.
La représentation géométrique associée permet de vérifier visuellement que les côtés orientés de A vers B et de C vers D ont même direction, même sens et même longueur.
En pratique
Pour décrire un déplacement entre deux positions, on choisit le bipoint dont l'origine est la position initiale et l'extrémité la position finale. Un segment non orienté ne convient pas si le sens du trajet doit être conservé.
Pour comparer deux déplacements placés à des endroits différents, on calcule leurs différences de coordonnées. Si elles sont égales, les bipoints sont équipollents ; sinon, ils représentent des vecteurs distincts.
Pour appliquer une translation à une figure, on peut choisir un bipoint qui matérialise le déplacement. Le vecteur associé est préférable lorsqu'on veut oublier le point de départ et appliquer ce même déplacement à tous les points de la figure.
À ne pas confondre
Un bipoint et une paire de points. Une paire ne tient pas compte de l'ordre, tandis qu'un bipoint distingue l'origine de l'extrémité. Avec deux points distincts A et B, la paire {A, B} reste la même quand on échange les lettres, mais (A, B) devient (B, A).
Un bipoint et un vecteur. Le bipoint conserve deux points précis ; le vecteur regroupe tous les bipoints équipollents. Ainsi, dans l'exemple A(1, 2), B(4, 3), C(−2, 0), D(1, 1), les bipoints (A, B) et (C, D) sont différents mais définissent le même vecteur.
Un bipoint et un segment. Le segment [AB] est l'ensemble des points situés entre A et B et ne privilégie aucun sens. Le bipoint (A, B) est orienté : le remplacer par (B, A) inverse le déplacement associé.
Limites et pièges
Points confondus. Si l'origine et l'extrémité coïncident, le bipoint (A, A) reste défini. Son déplacement est nul ; il ne faut ni le supprimer ni lui attribuer une direction privilégiée.
Parallélogramme dégénéré. Le critère ABDC parallélogramme inclut des configurations aplaties ou réduites à un point. Le dessin peut alors ne plus ressembler au parallélogramme habituel ; l'égalité B − A = D − C reste le test fiable dans un espace affine.
Représentant non unique. Un vecteur n'est pas attaché à un seul bipoint. Chercher une origine absolue parmi tous ses représentants est donc une fausse piste ; il faut raisonner sur leur classe d'équipollence.
Soustraction de points. L'écriture B − A suppose une structure affine qui associe un vecteur à deux points. Dans un espace géométrique où cette opération n'est pas définie, il faut employer la relation disponible plutôt que soustraire formellement des points.
Pour aller plus loin
L'équipollence précise la relation qui reconnaît deux bipoints comme représentants d'un même vecteur.
La notion de classe d'équivalence explique comment plusieurs objets distincts sont réunis selon une même relation.
L'espace affine fournit le cadre dans lequel la différence de deux points est un vecteur.
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