Équipollence

Imaginez une flèche qui fait avancer de trois carreaux vers la droite et de deux vers le haut. Déplacez cette flèche ailleurs sans la tourner, l’allonger ni l’inverser : le mouvement représenté ne change pas.

Les deux flèches sont alors équipollentes. Leur point de départ diffère, mais elles portent le même déplacement : même direction, même sens et même longueur. En regroupant toutes les flèches qui décrivent ce déplacement, on obtient un vecteur libre.

Un bipoint est un couple ordonné de points : le premier est l’origine et le second l’extrémité. Considérons le bipoint d’origine A et d’extrémité B, puis celui d’origine C et d’extrémité D. Ils sont équipollents lorsqu’ils déterminent exactement le même déplacement. Dans un espace euclidien, cela revient à exiger simultanément la même direction, le même sens et la même longueur.

Le vecteur porté par le premier bipoint se note avec une flèche de A vers B, et celui du second avec une flèche de C vers D. Le critère s’écrit $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\backslash overrightarrow\{AB\}=\backslash overrightarrow\{CD\}$. Dans un repère, cette égalité signifie que les différences de coordonnées entre extrémité et origine coïncident composante par composante.

Cette relation est réflexive, symétrique et transitive : c’est donc une relation d’équivalence sur les bipoints. Une classe d’équivalence rassemble tous les bipoints équipollents et définit un vecteur libre, indépendant de l’endroit où une flèche représentante est dessinée. Les bipoints dont l’origine et l’extrémité coïncident appartiennent tous à la classe du vecteur nul. La notion, introduite par Bellavitis au XIX^e siècle, donne ainsi un statut précis à l’idée de déplacement transportable.

Dans un repère, on considère quatre points :
A a pour coordonnées (1 ; 1).
B a pour coordonnées (4 ; 3).
C a pour coordonnées (−2 ; 4).
D a pour coordonnées (1 ; 6).
La construction forme un parallélogramme et rend visibles les deux déplacements à comparer.

1. Pour aller de A à B, on soustrait les coordonnées de A à celles de B : $(4-1,3-1)=(3,2)(4-1,\backslash ,3-1)=(3,\backslash ,2)$. Le déplacement vaut donc trois unités vers la droite et deux vers le haut.

2. Pour aller de C à D, le même calcul donne $(1-(-2),6-4)=(3,2)(1-(-2),\backslash ,6-4)=(3,\backslash ,2)$.

3. Les deux couples de composantes sont égaux. Les bipoints de A vers B et de C vers D sont donc équipollents.

4. Pour contrôler le résultat sans refaire les soustractions, on translate A de trois unités à droite et deux vers le haut : on atteint B. Le même déplacement appliqué à C atteint D.

Sur une figure géométrique. On transporte une flèche pour comparer deux déplacements placés à des endroits différents. Si la direction, le sens et la longueur sont conservés, l’équipollence convient ; si seule la direction compte, le parallélisme suffit.

Dans un repère. On calcule les différences de coordonnées entre l’extrémité et l’origine de chaque bipoint. L’égalité composante par composante établit l’équipollence ; une simple comparaison des longueurs ne permet pas de conclure.

Pour raisonner avec des vecteurs libres. On choisit le représentant dont l’origine facilite la construction ou le calcul. Si l’emplacement exact du segment orienté doit être conservé, on garde au contraire le bipoint lui-même.

Parallélisme. Deux segments orientés parallèles ont la même direction, mais ils peuvent avoir des longueurs différentes ou des sens opposés. Deux flèches horizontales de longueurs 2 et 5 sont parallèles, pas équipollentes.

Égalité des longueurs. Deux segments peuvent mesurer autant sans porter le même déplacement. Une flèche de longueur 3 dirigée vers la droite et une autre de longueur 3 dirigée vers le haut ne sont pas équipollentes.

Translation. L’équipollence est une relation qui compare deux bipoints. Une translation est une transformation qui déplace les points selon un même vecteur ; dans l’exemple, elle envoie A sur B et C sur D.

Bipoints nuls. Lorsque l’origine et l’extrémité coïncident, la flèche a une longueur nulle : son sens et sa direction ne se lisent plus dans la représentation. Il faut employer le critère vectoriel ; tous ces bipoints représentent le vecteur nul et sont équipollents.

Orientation inversée. Échanger l’origine et l’extrémité change le sens du déplacement. De B vers A, les composantes valent (−3 ; −2), et non (3 ; 2) : ce bipoint n’est donc pas équipollent à celui de A vers B, sauf dans le cas nul.

Cadre sans longueur. Dans un espace affine dépourvu de distance euclidienne, parler de « même longueur » n’est pas justifié. On compare directement les vecteurs associés, ou les différences de coordonnées dans un même repère affine.

Le bipoint précise le rôle distinct de l’origine et de l’extrémité d’un segment orienté.

La relation d'équivalence explique comment des objets sont regroupés en classes, ici les représentants d’un même vecteur libre.

La translation montre comment le déplacement commun à des bipoints équipollents agit sur tous les points d’une figure.