vecteur libre - physique -

Imaginez une flèche qui indique un déplacement de 3 mètres vers la droite et de 4 mètres vers le haut. Vous pouvez la redessiner ailleurs sans changer le déplacement qu’elle représente.

Cette flèche représente un vecteur libre : seule compte la combinaison de sa direction, de son sens et de sa longueur, ici 5 mètres. Son origine dessinée sert à le montrer, mais ne lui est pas attachée.

En mécanique, un vecteur libre est entièrement déterminé par trois données : sa direction, son sens et sa norme, aussi appelée valeur ou intensité. Aucun point d’application particulier n’entre dans sa définition. Une flèche qui le représente peut donc être translatée dans l’espace, à condition de conserver ces trois données.

Dans un repère du plan, le déplacement horizontal et le déplacement vertical sont les composantes du vecteur. Pour le vecteur noté $\vec{v}\backslash vec\; v$, dont les composantes valent 3 et 4, sa norme vaut 5 : $\parallel \vec{v}\parallel =\sqrt{3^2+4^2}=5\backslash lVert\; \backslash vec\; v\; \backslash rVert=\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=5$. Les composantes dépendent du repère choisi, tandis que le vecteur géométrique reste le même.

Mathématiquement, un vecteur libre est une classe d’équivalence de bipoints. Pour un déplacement non nul, deux couples orientés de points représentent le même vecteur lorsque leurs flèches ont même direction, même sens et même norme. Tous les bipoints dont l’origine et l’extrémité coïncident représentent, quant à eux, le vecteur nul. L’addition et la multiplication par un scalaire portent sur la classe entière, et non sur une origine particulière.

Pour un vecteur libre non nul, trois éléments définissent le vecteur : la direction, qui est celle de toutes les droites parallèles pouvant porter ses représentants ; le sens, qui choisit l’une des deux orientations possibles sur cette direction ; et la norme, qui fixe la longueur de chaque flèche selon l’échelle retenue. La direction seule ne détermine donc ni le sens ni la norme. Le vecteur nul constitue l’exception : sa direction et son sens ne sont pas déterminés.

Le point d’origine et le point d’extrémité appartiennent au bipoint utilisé pour dessiner un représentant, mais ils ne définissent pas le vecteur libre. Dans l’exemple conducteur, les flèches de A vers B et de C vers D ont toutes deux les composantes 3 et 4, puis une norme égale à 5. Elles suffisent à construire deux représentants du même vecteur.

Dans un repère gradué en mètres, on considère les points A de coordonnées (1 ; 1), B de coordonnées (4 ; 5), C de coordonnées (6 ; 2) et D de coordonnées (9 ; 6). Il faut déterminer si les bipoints orientés de A vers B et de C vers D représentent le même vecteur libre.

1. Pour aller de A à B, la variation horizontale vaut 4 − 1 = 3 mètres et la variation verticale vaut 5 − 1 = 4 mètres. Le vecteur représenté a donc les composantes (3 ; 4).

2. Pour aller de C à D, les variations valent 9 − 6 = 3 mètres et 6 − 2 = 4 mètres. La seconde flèche a la même direction, le même sens et les mêmes composantes.

3. La norme commune est obtenue par le théorème de Pythagore : $\sqrt{3^2+4^2}=5\backslash sqrt\{3^2+4^2\}=5$ mètres.

Les deux bipoints représentent donc le même vecteur libre. Le contrôle est refaisable en soustrayant, dans le même ordre, les coordonnées de chaque origine à celles de chaque extrémité : on retrouve (3 ; 4) dans les deux cas.

Dans un calcul de déplacement, on peut déplacer la flèche dans la représentation pour l’ajouter à une autre. On choisit le vecteur libre lorsque l’origine géométrique ne porte aucune information nécessaire.

Pour étudier le mouvement d’un solide, le point suivi peut au contraire être indispensable. Si le centre de gravité doit rester identifié, on emploie un vecteur lié à ce point plutôt qu’un vecteur libre.

Sur un schéma, le bon réflexe consiste à demander ce qui reste vrai après translation de la flèche. Si direction, sens et norme suffisent encore à décrire la grandeur, la représentation libre convient.

Vecteur lié. Il associe un vecteur libre à un point d’application déterminé. Si déplacer la flèche du centre de gravité vers un autre point fait perdre l’information étudiée, le vecteur est lié.

Vecteur glissant. Son point d’application peut se déplacer, mais seulement sur une droite affine donnée. Une translation hors de cette droite est permise pour un vecteur libre, pas pour le même vecteur glissant.

Bipoint. Un bipoint est un couple orienté de points, avec une origine et une extrémité précises. Le vecteur libre est la classe de tous les bipoints équivalents, et non une flèche particulière.

Vecteur nul. Lorsque la norme vaut 0, l’origine et l’extrémité d’un représentant coïncident. Il ne faut alors attribuer à ce vecteur ni direction ni sens déterminés ; ses composantes sont nulles dans tout repère.

Changement de repère. Deux listes de composantes différentes peuvent décrire le même vecteur lorsque les axes ou l’unité changent. Il faut comparer les vecteurs dans un repère commun, plutôt que comparer directement les nombres écrits.

Déplacement d’un représentant. Le mot « libre » ne permet pas de tourner, d’inverser ou de redimensionner la flèche. Une translation est valide seulement si elle conserve simultanément direction, sens et norme.

Le bipoint précise comment un couple ordonné de points sert de représentant concret à un vecteur.

Le vecteur lié en physique montre ce qui change lorsqu’un point d’application déterminé devient une donnée de l’objet.

Le vecteur glissant présente le cas intermédiaire où le point d’application reste mobile sur une droite affine imposée.