Buffon's needle

Imaginez un sol marqué par des lignes parallèles, espacées exactement comme la longueur d’une aiguille. Après chaque lancer, l’aiguille reste dans une bande ou coupe une ligne. Son orientation et la position de son milieu décident du résultat.

En répétant le geste, la proportion de croisements se stabilise autour d’une valeur liée à π. On peut donc retourner l’expérience : compter les lancers et les croisements fournit une approximation expérimentale de π.

Le problème de l’aiguille de Buffon est une expérience de probabilité géométrique. Une aiguille rectiligne est déposée aléatoirement sur un plan partagé par des droites parallèles régulièrement espacées. L’événement étudié est le contact de l’aiguille avec au moins une droite.

La longueur de l’aiguille est notée L et l’écart entre deux droites est noté d. Le milieu de l’aiguille doit être uniforme entre deux droites, et son orientation uniforme parmi toutes les directions. Lorsque L ≤ d, la probabilité p d’un croisement vaut $p=\frac{2L}{\pi d}p=\backslash frac\{2L\}\{\backslash pi\; d\}$. Ces hypothèses donnent un sens précis à l’expression « au hasard ».

Dans le cas décrit par Buffon, la longueur égale l’écart : L = d. La formule devient $p=\frac{2}{\pi }p=\backslash frac\{2\}\{\backslash pi\}$, soit environ 63,66 % de croisements. Si N désigne le nombre total de lancers et C le nombre de croisements, l’estimation correspondante, définie seulement lorsque C > 0, est $\widehat{\pi }=\frac{2N}{C}\backslash widehat\{\backslash pi\}=\backslash frac\{2N\}\{C\}$. Si C = 0, aucune estimation n’est définie. Deux placements de même longueur peuvent ainsi produire des résultats différents selon leur position et leur orientation.

On effectue une série de lancers sur des lignes espacées de 5 cm. L’aiguille mesure elle aussi 5 cm. Le nombre total de lancers, noté N, vaut 100. Le nombre de croisements observés, noté C, vaut 64.

Étape 1. Vérifiez le cas utilisé : la longueur L de l’aiguille et l’écart d des lignes satisfont $L=d=5\text{cm}L=d=5\backslash ,\backslash text\{cm\}$. La formule du cas égal s’applique.

Étape 2. Calculez la fréquence observée des croisements : $f=\frac{C}{N}=\frac{64}{100}=\mathrm{0,64}f=\backslash frac\{C\}\{N\}=\backslash frac\{64\}\{100\}=0\{,\}64$. Cela représente 64 % des lancers.

Étape 3. Isolez π dans la relation du cas égal, puis remplacez N et C : $\widehat{\pi }=\frac{2N}{C}=\frac{200}{64}=\mathrm{3,125}\backslash widehat\{\backslash pi\}=\backslash frac\{2N\}\{C\}=\backslash frac\{200\}\{64\}=3\{,\}125$. L’expérience donne donc l’approximation 3,125.

Étape 4. Interprétez l’écart : 100 lancers ne produisent qu’un échantillon aléatoire. Une autre série peut donner un autre nombre de croisements et une autre approximation.

Le contrôle se refait dans l’autre sens : 2 ÷ 3,125 = 0,64, exactement la fréquence 64 ÷ 100 utilisée au départ. Ce contrôle valide le calcul, pas la précision statistique de l’expérience.

En classe, des bâtonnets et des lignes parallèles rendent le hasard géométrique visible. Si les lancers s’alignent souvent dans une même direction, une simulation informatique est préférable, car elle contrôle mieux l’uniformité des positions et des orientations.

Pour estimer π, on note après chaque lancer s’il y a croisement, puis on calcule 2N/C lorsque la longueur égale l’espacement. Si des séries de même taille donnent des résultats très différents, on augmente le nombre de lancers au lieu d’ajouter des décimales.

Pour vérifier un programme aléatoire, on compare sa fréquence de croisements à 2/π. Si l’écart persiste lorsque le nombre d’essais augmente, on examine la génération des angles et des positions plutôt que la formule.

La loi géométrique. Elle compte le nombre d’essais, succès inclus, jusqu’au premier succès dans une suite d’essais indépendants de même probabilité de succès, tandis que l’aiguille de Buffon étudie une position et une orientation continues. Compter des lancers indépendants, réalisés selon le même protocole, jusqu’au premier croisement suit donc une loi géométrique ; mesurer la proportion de croisements relève du problème de Buffon.

La méthode de Monte-Carlo. C’est une famille générale de méthodes numériques fondées sur des tirages aléatoires. Simuler des aiguilles pour estimer π en est une application ; établir exactement la probabilité 2/π à partir du modèle de Buffon n’est pas une estimation de Monte-Carlo.

Un hasard biaisé. Des aiguilles qui s’orientent surtout dans le sens des lignes produisent trop peu de croisements. Il faut modifier le protocole ou simuler séparément une position et un angle uniformes.

Un échantillon trop court. Avec peu de lancers, l’estimation varie fortement ; si C = 0, le quotient 2N/C est même indéfini. Il faut multiplier les essais et publier N avec C, sans présenter les décimales obtenues comme exactes.

Une aiguille plus longue que l’espacement. La formule 2L/(πd) vaut jusqu’au seuil L = d. Si L > d, une aiguille peut couper plusieurs lignes et la formule du cas long doit remplacer cette expression.

Des objets non idéaux. Une aiguille épaisse, courbe ou posée sur des lignes larges rend certains contacts ambigus. Il faut fixer une convention de comptage ou employer le modèle idéal d’un segment et de droites sans épaisseur.

Buffon et le hasard en géométrie — Replacer l’expérience dans son contexte mathématique et historique.

Pi (calcul par la méthode de Monte-Carlo) — Comparer l’aiguille à une autre estimation aléatoire de π.

méthode de Monte-Carlo — Situer l’expérience de Buffon dans la famille des méthodes par échantillonnage aléatoire.