Caustic of a circle
The caustic of a circle is the geometric envelope of light rays from a point source reflected by a circular mirror. The shape of this caustic depends on the position of the light source relative to the circle. When the source lies on the circle itself, the caustic is a cardioid, a curve with one cusp whose shape resembles that of a heart. When the source is placed at infinity—that is, when the light rays arrive parallel to one another—the caustic takes the form of a nephroid, a curve with two cusps belonging to the family of epicycloids. For other positions of the source, at a finite distance but outside the circle, the caustic takes intermediate forms between these two special cases. The caustic of a circle is a classic example illustrating the link between the geometry of plane curves and optical phenomena.
La caustique d'un cercle est l'enveloppe géométrique des rayons lumineux réfléchis par un miroir circulaire depuis une source ponctuelle. Sa forme dépend de la position de la source : sur le cercle, elle est une cardioïde à un point de rebroussement ; à l'infini, c'est-à-dire pour des rayons parallèles, elle est une néphroïde à deux points de rebroussement. Pour une source extérieure à distance finie, elle dépend de la position exacte de la source et n'est en général ni une cardioïde ni une néphroïde.
Contents
What you will learn
- Définir l'enveloppe des rayons réfléchis.
- Relier une source sur le cercle à une cardioïde.
- Relier des rayons parallèles à une néphroïde.
- Distinguer les cas particuliers des autres positions de source.
In plain terms
Imaginez une petite lampe placée près d'un miroir circulaire. Chaque rayon qui atteint le miroir repart selon la loi de la réflexion. L'ensemble de ces rayons réfléchis dessine une courbe où ils se resserrent : cette courbe est la caustique. Elle ne dépend pas seulement du miroir, mais aussi de la place de la lampe.
Une source posée sur le cercle donne une cardioïde, avec une pointe. Des rayons parallèles, équivalents à une source très éloignée, donnent une néphroïde, avec deux pointes. Pour une source extérieure à distance finie, la forme dépend de sa position exacte : elle n'est en général ni une cardioïde ni une néphroïde.
Definition
La caustique d'un cercle est l'enveloppe géométrique des rayons lumineux après leur réflexion sur un miroir circulaire. Une enveloppe est une courbe tangente à une famille de courbes ; ici, chaque rayon réfléchi appartient à cette famille et la caustique en décrit le contour commun.
La source est ponctuelle, donc tous les rayons incidents partent du même point. La position de ce point par rapport au cercle détermine la forme obtenue. Lorsque le point est sur le cercle, la caustique est une cardioïde, c'est-à-dire une courbe à un point de rebroussement. Lorsque les rayons incidents sont parallèles, ce qui correspond à une source rejetée à l'infini, la caustique est une néphroïde, courbe à deux points de rebroussement appartenant à la famille des épicycloïdes. Pour une source extérieure à distance finie, la caustique dépend de la position de la source ; elle ne se réduit pas, en général, à une cardioïde ou à une néphroïde.
What it is made of
La construction met en jeu quatre éléments. Le miroir circulaire fournit la courbe réfléchissante. La source ponctuelle fournit le point commun de départ des rayons incidents. Les rayons incidents atteignent différents points du cercle. Les rayons réfléchis repartent en respectant la réflexion sur le miroir et forment une famille de droites.
La caustique est l'enveloppe de cette famille de rayons réfléchis : elle dépend donc à la fois du cercle et de la position de la source. Le cercle seul ne suffit pas à déterminer sa forme. La source sur le cercle produit la cardioïde, tandis que l'arrivée parallèle des rayons produit la néphroïde. Pour une source extérieure à distance finie, il faut préciser sa position exacte : la caustique obtenue n'est en général ni une cardioïde ni une néphroïde.
A step-by-step example
On considère le cas particulier où une source ponctuelle est placée sur le cercle. On cherche la forme de l'enveloppe des rayons réfléchis, sans modifier le miroir ni la position de la source.
1. La source ponctuelle émet des rayons incidents vers plusieurs points du miroir circulaire.
2. Pour un point de rencontre P, on trace le rayon qui relie le centre du cercle à P : il sert de normale au miroir en P.
3. On construit le rayon réfléchi en faisant le symétrique du rayon incident par rapport à cette normale, puis on le prolonge au-delà de P.
4. On répète la construction pour plusieurs points voisins du cercle ; les intersections de deux rayons réfléchis voisins font apparaître les points successifs de la courbe enveloppe.
5. En reliant doucement ces points, on obtient un tracé de l'enveloppe recherchée, sans calcul détaillé.
2. Pour un point de rencontre P, on trace le rayon qui relie le centre du cercle à P : il sert de normale au miroir en P.
3. On construit le rayon réfléchi en faisant le symétrique du rayon incident par rapport à cette normale, puis on le prolonge au-delà de P.
4. On répète la construction pour plusieurs points voisins du cercle ; les intersections de deux rayons réfléchis voisins font apparaître les points successifs de la courbe enveloppe.
5. En reliant doucement ces points, on obtient un tracé de l'enveloppe recherchée, sans calcul détaillé.
Dans ce cas, l'enveloppe est une cardioïde. Le contrôle consiste à comparer le tracé obtenu à la famille de rayons : les points construits doivent rester au voisinage des rayons réfléchis voisins, et la courbe doit présenter un seul point de rebroussement. On vérifie aussi que la source est bien placée sur le cercle. Si la source était déplacée à l'infini, le résultat ne serait plus une cardioïde, mais une néphroïde.
In practice
Pour observer une caustique, on peut diriger une source lumineuse ponctuelle vers l'intérieur réfléchissant d'un objet circulaire et suivre les rayons réfléchis. Le geste consiste à repérer la courbe où ces rayons se concentrent visuellement.
Pour interpréter le dessin, il faut d'abord situer la source. Une source sur le cercle conduit au cas de la cardioïde ; des rayons parallèles conduisent au cas de la néphroïde. Le nombre de points de rebroussement observés aide alors à distinguer ces deux situations.
Not to be confused with
La caustique d'un cercle ne se confond pas avec le cercle réfléchissant. Le cercle est le miroir qui renvoie les rayons ; la caustique est l'enveloppe géométrique produite par ces rayons après réflexion. Si l'on ne voit qu'un contour circulaire, on observe le support, pas nécessairement la caustique.
La cardioïde et la néphroïde sont deux formes particulières de caustiques, mais elles ne désignent pas la même configuration. Une source située sur le cercle donne une cardioïde à un point de rebroussement ; des rayons arrivant parallèlement donnent une néphroïde à deux points de rebroussement.
Limits and pitfalls
Le cas de la source rejetée à l'infini est une limite géométrique : il signifie que les rayons lumineux arrivent parallèlement, et non qu'une source réelle doit être placée à une distance infinie. Le symptôme observable est l'absence de point commun fini pour les rayons incidents ; il faut alors employer le modèle de la néphroïde.
Une source extérieure à distance finie ne produit pas automatiquement une cardioïde ni une néphroïde. Ces deux noms sont réservés aux configurations particulières décrites plus haut. Pour une autre position extérieure, il faut conserver la famille des rayons réfléchis et décrire la caustique obtenue sans lui attribuer l'un de ces deux cas particuliers.
Further reading
Le passage de la cardioïde à la néphroïde montre comment la position d'une source modifie l'enveloppe d'une famille de rayons. Cette idée relie une construction optique concrète à la géométrie des courbes planes : on peut donc étudier une même caustique par l'observation des rayons et par les propriétés de la courbe qu'ils enveloppent.
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