cylindrical anamorphosis
Cas particulier d'anamorphose catoptrique dans lequel le miroir réfléchissant est de forme cylindrique.
Contents
What you will learn
- Définir l’anamorphose cylindrique comme un cas d’anamorphose catoptrique.
- Relier chaque point du dessin à la loi de la réflexion sur le cylindre.
- Refaire une construction numérique dans une coupe horizontale.
- Distinguer anamorphose cylindrique, anamorphose perspective et projection cylindrique.
In plain terms
Posez un cylindre réfléchissant au milieu d’un dessin qui paraît étiré et disloqué. Depuis le point de vue prévu, le miroir rassemble ces fragments en une image reconnaissable. Déplacez l’œil ou retirez le cylindre : l’image se défait de nouveau.
Cette transformation est une anamorphose cylindrique. Le dessin n’est pas déformé au hasard : chacun de ses points envoie un rayon vers le miroir, qui le renvoie vers l’observateur selon la loi de la réflexion.
Definition
Une anamorphose cylindrique est une anamorphose catoptrique, c’est-à-dire une image construite pour être restituée par réflexion. Sa surface réfléchissante est cylindrique. Dans le montage courant, un cylindre circulaire droit et vertical repose sur le plan qui porte le dessin déformé. La forme du dessin dépend de la géométrie du cylindre, de sa position et du point d’observation choisi.
Pour chaque point du dessin, le rayon incident atteint un point du miroir, puis repart vers l’œil. Au point de réflexion, la normale est la droite perpendiculaire à la surface. Le rayon incident et le rayon réfléchi font des angles égaux avec cette normale, dans un même plan. L’œil prolonge mentalement le rayon reçu derrière le miroir ; l’ensemble de ces prolongements forme l’image virtuelle perçue.
La section horizontale d’un cylindre circulaire est un cercle : sa normale au point de contact passe par le centre de ce cercle. Cette propriété permet de construire les directions réfléchies point par point. Une image complète exige aussi de traiter la hauteur ; une seule coupe horizontale décrit le mécanisme d’un point, pas toute la transformation en trois dimensions.
A step-by-step example
Construisons un rayon dans une coupe horizontale, avec des coordonnées en centimètres. Le cylindre a pour centre O = (0 ; 0) et pour rayon 2 cm. Le point du miroir est M = (2 ; 0), l’œil est E = (8 ; 4) et le point dessiné est P = (5 ; −2).
1. Au point M, la normale au cercle est portée par OM ; elle est donc horizontale.
2. Le rayon incident va de P vers M. Son vecteur directeur est M − P = (−3 ; 2).
3. Pour comparer les angles au point M, inversons d’abord le sens du vecteur incident : P − M = (3 ; −2). Sa symétrique par rapport à la normale horizontale est (3 ; 2). Or E − M = (6 ; 4) = 2 × (3 ; 2). Le rayon réfléchi passe donc exactement par l’œil E.
4. Prolongeons la droite reçue derrière le miroir. Le point Q = (−1 ; −2) vérifie M − Q = (3 ; 2) : Q, M et E sont alignés. L’œil voit ainsi le point réfléchi comme s’il provenait de Q. Pour contrôler la construction, on vérifie à la fois l’alignement Q–M–E et la symétrie des deux directions autour de OM.
In practice
Pour fabriquer une image. On fixe d’abord le cylindre et le point d’observation, puis on construit à rebours les rayons qui doivent atteindre l’œil. Une anamorphose perspective convient mieux si l’image doit se reformer sans miroir depuis un point précis.
Pour contrôler un dessin. On replace le miroir à la position prévue et on observe si les contours réfléchis se raccordent. Si un détail reste décalé, on corrige la zone correspondante du dessin plutôt que l’image virtuelle entière.
Pour modéliser la transformation. Une construction géométrique par rayons suffit pour quelques points. Pour une image dense, un calcul numérique applique la loi de la réflexion à chaque point ; un simple étirement uniforme ne convient pas, car la déformation varie autour du cylindre.
Not to be confused with
Anamorphose cylindrique et anamorphose perspective. La première exige une surface cylindrique réfléchissante ; la seconde se reforme par observation directe depuis un point déterminé. Si retirer le miroir laisse apparaître l’image correcte depuis le bon endroit, le procédé n’est pas catoptrique.
Anamorphose cylindrique et projection cylindrique. Une projection cylindrique reporte des points sur un cylindre, ou depuis celui-ci, selon une règle de projection. L’anamorphose étudiée repose sur la réflexion spéculaire : le test décisif est l’égalité des angles autour de la normale au miroir.
Anamorphose et reflet déformé ordinaire. Un miroir courbe déforme toute scène placée devant lui. On parle d’anamorphose lorsque l’image source est volontairement préparée pour qu’une forme visée apparaisse dans le reflet, et non lorsqu’un objet quelconque subit seulement la déformation du miroir.
Limits and pitfalls
Point de vue déplacé. Une construction est réglée pour une position de l’œil. En se décalant, on reçoit d’autres rayons et les contours cessent de coïncider. Il faut revenir au point prévu ou recalculer le dessin pour le nouveau point de vue.
Cylindre mal placé. Une translation, une inclinaison ou un rayon différent modifie les normales et donc toute la réflexion. Il faut reporter précisément le centre, l’axe et le rayon utilisés lors de la construction. Dans l’exemple, remplacer le rayon de 2 cm déplace déjà le point M = (2 ; 0).
Réflexion imparfaite. La construction suppose une réflexion spéculaire, qui conserve une direction nette. Une surface mate ou irrégulière disperse la lumière : l’image devient floue, même si la géométrie du dessin est juste. Il faut employer une surface suffisamment lisse et réfléchissante.
Rayon presque tangent. Près d’une direction tangente au cylindre, une petite erreur de position peut déplacer fortement le point reconstruit ou masquer une partie du dessin. Il faut vérifier la visibilité de chaque rayon depuis l’œil et éviter de déduire toute l’image d’une seule coupe.
Further reading
L’entrée anamorphose replace le miroir cylindrique dans la famille générale des images déformées qui se recomposent sous une condition d’observation déterminée.
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