Center of a group

Prenez les six symétries d'un triangle équilatéral : trois rotations et trois réflexions. Enchaîner une rotation puis une réflexion ne donne généralement pas la même symétrie que les effectuer dans l'ordre inverse. L'ordre compte.

Le centre rassemble les opérations qui peuvent passer avant ou après n'importe quelle autre sans modifier le résultat. Dans cet exemple, seule l'opération qui ne déplace rien possède cette liberté. Dans un groupe commutatif, au contraire, chaque élément la possède et le centre est le groupe entier.

Soit un groupe G, muni de sa loi de composition, et soit e son élément neutre. Le centre de G, noté Z(G), est l'ensemble des éléments z de G qui commutent avec chaque élément g de G. Autrement dit, z appartient au centre si composer z avec n'importe quel g donne le même résultat dans les deux ordres :

Pour un élément g fixé, son centralisateur C_G(g) réunit seulement les éléments de G qui commutent avec g. Exiger la commutation avec tous les g revient donc à intersecter tous ces centralisateurs : $Z(G)={\bigcap }_{g\in G}{C}_G(g)Z(G)=\backslash bigcap\_\{g\backslash in\; G\}C\_G(g)$. Le centre contient toujours e. Il est un sous-groupe abélien, car deux de ses éléments commutent entre eux, et il est distingué dans G. Enfin, Z(G) = G exactement lorsque G est abélien, c'est-à-dire lorsque tous ses éléments commutent deux à deux.

La construction mobilise cinq ingrédients. Le groupe G fournit les éléments et leur loi de composition. Un candidat z est choisi dans G. Un élément test g parcourt tout G. L'égalité zg = gz compare alors les deux ordres de composition. Enfin, le mot « tout » est décisif : réussir un seul test ne suffit pas.

Chaque élément test g détermine son centralisateur C_G(g). Le centre est la partie commune à tous ces sous-groupes. Pour les symétries du triangle, la rotation r d'un tiers de tour a pour centralisateur {e, r, r²}, tandis que chaque réflexion s a pour centralisateur {e, s}. L'intersection de tous ces ensembles se réduit à {e}, comme le synthétise la figure.

Ces données suffisent à décider quels éléments appartiennent à Z(G). La façon de dessiner le groupe ou de nommer ses éléments ne change pas ce critère : seules la loi et les égalités de composition comptent.

Considérons le groupe des six symétries d'un triangle équilatéral. Notons e l'identité, r la rotation de 120° et s une réflexion. Toute symétrie s'écrit e, r, r², s, sr ou sr². La composition est lue de droite à gauche.

Données.
La rotation vérifie r³ = e.
La réflexion vérifie s² = e.
Le changement d'ordre vérifie sr = r²s.

Étape 1. L'identité e commute avec chaque symétrie, puisque eg = ge = g pour tout élément g. Elle appartient donc au centre.

Étape 2. La rotation r ne commute pas avec s : sr = r²s, et cette symétrie est différente de rs. La rotation r² échoue de même au test avec s.

Étape 3. Chacune des trois réflexions échoue au test avec r. Aucun des cinq éléments non neutres ne commute donc avec tout le groupe.

Résultat et contrôle. Le centre vaut Z(G) = {e}. On retrouve ce résultat en intersectant {e, r, r²}, le centralisateur de r, avec les trois centralisateurs à deux éléments des réflexions : leur seul élément commun est e.

Pour savoir si un groupe est abélien, on peut chercher si chaque générateur commute avec les autres générateurs. Si c'est le cas, le centre est G tout entier. Dès qu'une paire ne commute pas, le groupe n'est pas abélien, mais il faut encore tester les autres éléments pour déterminer son centre.

Pour calculer un centre dans un petit groupe donné par une table, on compare la ligne et la colonne de chaque candidat. Elles coïncident exactement lorsque ce candidat commute avec tous les éléments. Avec une présentation par générateurs et relations, tester la commutation avec les générateurs évite de parcourir séparément tout le groupe.

Quand des éléments centraux brouillent une structure non commutative, le quotient G/Z(G) les identifie à l'élément neutre. Cette construction est préférable à leur simple suppression : elle conserve une loi de groupe bien définie parce que le centre est distingué.

Centre et centralisateur. Le centralisateur C_G(g) dépend d'un élément g fixé et exige de commuter seulement avec lui. Le centre exige de commuter avec tous les éléments. Dans le groupe des symétries du triangle, C_G(r) = {e, r, r²}, mais Z(G) = {e}.

Centre et élément neutre. L'élément neutre appartient toujours au centre, mais le centre peut en contenir d'autres. Dans tout groupe abélien, chaque élément est central : réduire systématiquement Z(G) à {e} serait donc faux.

Sous-groupe abélien et centre. Un sous-groupe peut être abélien sans être central dans le groupe ambiant. Le sous-groupe {e, r, r²} des symétries du triangle est abélien, mais r ne commute pas avec la réflexion s ; ce sous-groupe n'est donc pas contenu dans le centre.

Quelques tests favorables ne prouvent rien. Dans le groupe des symétries du triangle, r commute avec r², mais pas avec s. Le symptôme est un candidat déclaré central après un sous-ensemble de comparaisons. Il faut tester tous les éléments, ou un ensemble de générateurs dont on justifie qu'il engendre G.

Le centre dépend du groupe ambiant. L'élément r est central dans le sous-groupe {e, r, r²}, qui est abélien, mais pas dans le groupe complet des six symétries. Il faut toujours préciser le groupe G auquel se rapporte la notation Z(G).

Un centre réduit à {e} ne rend pas le groupe simple. Le centre décrit la commutation universelle, tandis que la simplicité concerne tous les sous-groupes distingués. Pour tirer une conclusion de classification, il faut étudier les autres sous-groupes distingués au lieu de s'arrêter au centre.

Le cas abélien est un cas charnière, pas une exception. Si tous les produits commutent, alors Z(G) = G. Si une seule paire ne commute pas, cette égalité échoue, mais le centre peut encore être plus grand que {e}. Il faut le calculer plutôt que choisir entre deux extrêmes.

Le centre fournit un premier filtre pour analyser un groupe : il isole les symétries internes qui sont compatibles avec toutes les autres. Comme il est distingué, on peut former le quotient G/Z(G). Ce quotient mesure ce qui reste du groupe une fois neutralisés les éléments centraux.

La commutation organise aussi les éléments en classes de conjugaison. Les éléments du centre sont précisément ceux dont la classe de conjugaison ne contient qu'un élément. Ce point de vue relie le calcul de Z(G) à la classification des groupes et prépare son emploi en théorie des représentations.