Order of an element
L'ordre d'un élément g d'un groupe est le plus petit entier positif n tel que g puissance n soit égal à l'élément neutre du groupe. Si un tel entier n'existe pas, on dit que l'ordre de g est infini. L'ordre d'un élément divise toujours l'ordre du groupe lorsque celui-ci est fini, d'après le théorème de Lagrange. L'ensemble des puissances d'un élément d'ordre fini forme un sous-groupe cyclique.
Contents
What you will learn
- Identifier le premier exposant positif qui ramène un élément au neutre.
- Calculer l'ordre d'une rotation de 120° dans le groupe des symétries du triangle.
- Contrôler un ordre dans un groupe fini avec le théorème de Lagrange.
- Distinguer l'ordre d'un élément de l'ordre du groupe.
In plain terms
Imaginez un triangle équilatéral dont les sommets sont marqués A, B et C. Une rotation de 120° autour de son centre déplace les trois lettres. Une deuxième rotation les déplace encore. Après trois rotations, chaque lettre retrouve exactement sa place initiale.
Le nombre 3 est l'ordre de cette rotation. L'ordre compte donc le plus petit nombre de répétitions nécessaires pour que l'action d'un élément n'ait finalement plus aucun effet.
Definition
Soit un groupe, noté G, dont l'élément neutre est noté e, et soit g un élément de G. L'ordre de g est le plus petit entier strictement positif n pour lequel la puissance n-ième de g vaut e : . Cette définition s'applique à toute loi de groupe écrite multiplicativement.
Si aucun entier positif ne vérifie cette égalité, g est d'ordre infini. Si l'ordre de g vaut n, ses puissances distinctes sont e, g, …, gn−1, puis le cycle recommence. Elles constituent le sous-groupe engendré par g, noté , qui est cyclique et possède n éléments.
Lorsque G est fini, le théorème de Lagrange donne : l'ordre de g divise le nombre d'éléments de G. En notation additive, on parle plutôt du plus petit entier positif n tel que n fois g soit l'élément neutre.
A step-by-step example
Considérons le groupe G des six symétries d'un triangle équilatéral dont les sommets sont marqués A, B et C. L'opération est la composition des symétries. L'élément e laisse chaque sommet en place, et l'élément r est la rotation de 120° autour du centre. Nous cherchons l'ordre de r.
Données : G possède 6 éléments ; r tourne le triangle de 120° ; e laisse A, B et C à leurs places.
1. Une application de r produit une rotation de 120° : les lettres changent de place, donc r n'est pas e.
2. Deux applications produisent 240° : r2 n'est pas e.
3. Trois applications produisent 360° : chaque lettre revient à sa place, donc r3 = e.
1. Une application de r produit une rotation de 120° : les lettres changent de place, donc r n'est pas e.
2. Deux applications produisent 240° : r2 n'est pas e.
3. Trois applications produisent 360° : chaque lettre revient à sa place, donc r3 = e.
Le premier exposant positif qui ramène au neutre est donc 3 : l'ordre de r vaut 3. Le contrôle par le théorème de Lagrange fonctionne, car 3 divise 6. Les trois éléments e, r et r2 forment le sous-groupe cyclique engendré par r.
In practice
Pour reconnaître le retour d'une transformation périodique, on compose plusieurs fois le même élément et l'on s'arrête au premier résultat neutre. Pour la rotation du triangle marqué, les places des lettres après 120°, 240° puis 360° donnent directement l'ordre 3.
Dans un groupe fini, on commence souvent par les diviseurs du nombre d'éléments du groupe. Dans notre groupe de six symétries, seuls 1, 2, 3 et 6 peuvent être des ordres. Ce filtre évite de tester tous les exposants.
Si les puissances ne reviennent jamais au neutre, une simple recherche finie ne suffit pas à conclure. Il faut alors démontrer qu'aucun entier positif ne convient, au lieu de prolonger indéfiniment le calcul.
Not to be confused with
Ordre d'un élément et ordre du groupe. Le premier compte les répétitions nécessaires pour revenir au neutre ; le second compte tous les éléments du groupe. Dans le groupe des six symétries du triangle, la rotation r est d'ordre 3, tandis que le groupe est d'ordre 6.
Limits and pitfalls
Le plus petit exposant positif est décisif. Pour un élément g et un exposant positif k, l'égalité gk = e ne prouve pas que l'ordre vaut k : pour la rotation r, r6 = e mais l'ordre vaut 3. De plus, commencer à l'exposant 0 donnerait le neutre pour tout élément.
L'élément neutre est un cas charnière. Comme e1 = e, son ordre vaut 1. Aucun autre élément n'a cet ordre, car l'égalité g1 = e impose g = e.
La divisibilité exige un groupe fini. L'énoncé « l'ordre de g divise l'ordre de G » utilise le nombre fini d'éléments de G. Pour un groupe infini, on revient à la définition : existence ou non d'un premier entier positif n tel que gn = e.
La loi détermine les puissances. Dans un groupe de transformations, g2 signifie composer g avec lui-même. Dans un groupe additif, la même idée s'écrit avec des multiples. Il faut identifier la loi avant de calculer.
Further reading
Le groupe cyclique prolonge naturellement la notion : il montre comment toutes les puissances d'un seul élément peuvent engendrer une structure entière.
La fiche sur l'élément neutre précise le point de retour utilisé pour définir et calculer l'ordre.
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