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Dans le corps à sept éléments, on peut multiplier plusieurs fois 3 par lui-même en ne gardant que le reste modulo 7. On obtient successivement 3, 2, 6, 4, 5, puis 1. Tous les éléments non nuls apparaissent avant que le cycle recommence.

Le seul élément 3 suffit donc à produire toute la partie multiplicative du corps. C'est précisément l'idée retenue ici par le mot unifère : les éléments non nuls forment un groupe cyclique, doté d'au moins un générateur.

Soit un corps noté K. Tous ses éléments non nuls sont inversibles pour la multiplication ; ils forment le groupe multiplicatif noté K^×. Dans le sens adopté par cette fiche, K est unifère lorsqu'il existe un élément non nul g dont les puissances engendrent tout ce groupe. Le critère s'écrit $K^{\times }=⟨g⟩=\{g^n\mid n\in \mathbb{Z}\}K^\{\backslash times\}=\backslash langle\; g\backslash rangle=\backslash \{g^n\backslash mid\; n\backslash in\backslash mathbb\; Z\backslash \}$. Ainsi, chaque élément non nul de K est une puissance entière de g.

Si K est un corps fini comportant q éléments, son groupe multiplicatif possède q − 1 éléments. Un théorème assure que ce groupe est cyclique : tout corps fini est donc unifère. Un élément g qui engendre K^× a alors l'ordre q − 1 et porte le nom de générateur, ou d'élément primitif au sens multiplicatif. Le générateur peut ne pas être unique, mais l'existence d'au moins un tel élément suffit.

On travaille dans le corps des restes modulo 7 et l'on teste l'élément 3. Données.
Le corps contient les sept restes 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Son groupe multiplicatif contient les six éléments non nuls.
Les produits sont réduits à leur reste modulo 7.

1. La première puissance vaut 3¹ = 3.
2. En multipliant encore par 3 : 3² = 9, soit 2 modulo 7 ; puis 3³ donne 6.
3. Les puissances suivantes donnent successivement 4 puis 5.
4. Enfin, 3⁶ donne 1 modulo 7, ce qui referme le cycle.

La liste obtenue est 3, 2, 6, 4, 5, 1 : elle contient une fois chacun des six éléments non nuls. L'élément 3 a donc l'ordre 6 et engendre tout le groupe multiplicatif. Pour refaire le contrôle, on multiplie chaque terme par 3 modulo 7 ; après 1, le terme suivant redevient 3.

Dans un petit corps fini, on peut chercher un générateur en dressant les puissances d'un élément non nul. Si elles parcourent les q − 1 éléments non nuls avant de revenir à 1, cet élément engendre le groupe multiplicatif.

Pour comparer plusieurs candidats, leur ordre multiplicatif est le critère décisif. Dans le corps à sept éléments, 3 convient parce que son ordre vaut 6, tandis que 2 revient à 1 après seulement trois puissances.

Une fois un générateur choisi, chaque élément non nul peut être repéré par un exposant. La multiplication de deux éléments se traduit alors par l'addition de leurs exposants, calculée modulo q − 1 dans le cas fini.

Un magma muni d'un élément neutre. Le mot « unifère » sert aussi à qualifier une loi interne qui possède un neutre. Ce sens ne demande pas que les éléments inversibles forment un groupe cyclique. Par exemple, la multiplication modulo 8 possède le neutre 1, mais ses inversibles 1, 3, 5 et 7 ne sont engendrés par aucun élément unique.

Un élément primitif d'une extension de corps. Dans cet autre emploi, l'élément engendre l'extension comme corps : tout élément de l'extension s'exprime à partir de lui et des éléments du corps de base. Cela ne signifie pas que ses puissances parcourent tous les éléments non nuls, condition qui caractérise seulement un générateur du groupe multiplicatif.

Zéro reste hors du groupe. Dans un corps, zéro n'a pas d'inverse multiplicatif. Une liste de puissances qui couvre tous les éléments non nuls est donc complète, même si zéro n'y apparaît jamais. Il faut comparer sa longueur à q − 1, et non à q.

Un élément non nul n'est pas forcément générateur. Dans le corps à sept éléments, les puissances de 2 donnent 2, 4, 1 puis recommencent. Le symptôme est un retour à 1 avant six étapes ; il faut essayer un élément d'ordre 6, tel que 3.

Le générateur n'est pas nécessairement unique. Toujours modulo 7, 3 et 5 ont tous deux l'ordre 6. Il faut donc démontrer l'existence d'un générateur, sans chercher à attribuer au corps un générateur canonique.

Le vocabulaire dépend du contexte. Hors de la définition spécialisée retenue ici, « unifère » peut seulement signaler la présence d'un élément neutre. Il faut alors lire la propriété explicitement annoncée plutôt que déduire automatiquement la cyclicité des inversibles.

La notion centrale est celle de groupe cyclique. Cette fiche précise comment un seul élément et ses puissances peuvent engendrer un groupe entier, indépendamment du cadre particulier des corps.