Chasles' relation
La relation de Chasles est une propriété fondamentale des intégrales et des vecteurs. Pour les intégrales, elle affirme que l'intégrale de a à c est égale à la somme des intégrales de a à b et de b à c, pour tout réel b intermédiaire ou non. Pour les vecteurs, la relation de Chasles établit que le vecteur AB plus le vecteur BC est égal au vecteur AC, quel que soient les points A, B, C considérés. Cette relation exprime la transitivité du déplacement et permet des décompositions de chemins ou d'intervalles d'intégration.
Contents
What you will learn
- Relier les vecteurs AB, BC et AC dans le bon ordre.
- Décomposer une intégrale en un point intermédiaire ou extérieur.
- Contrôler une application numérique avec des coordonnées.
- Éviter la confusion avec les longueurs et les aires géométriques.
In plain terms
Imaginez un trajet de A vers C avec un passage par B. Le déplacement total s'obtient en ajoutant le déplacement de A vers B puis celui de B vers C. Le point B peut même se trouver en dehors du trajet le plus direct : les orientations compensent alors le détour.
La relation de Chasles formalise ce découpage. Elle vaut aussi pour une intégrale : calculer d'abord de a à b puis de b à c donne le même bilan que calculer directement de a à c.
Definition
La relation de Chasles est une règle d'additivité : une grandeur orientée associée à un parcours se décompose en deux parcours successifs. Pour trois points A, B et C, le vecteur allant de A vers C est la somme du vecteur allant de A vers B et du vecteur allant de B vers C. Le point d'arrivée du premier vecteur doit donc être le point de départ du second.
Pour une fonction f intégrable sur tous les intervalles concernés, l'intégrale orientée de a à c se décompose à n'importe quel réel b, qu'il soit ou non situé entre a et c. Si les bornes sont parcourues dans le sens opposé, le signe change ; cette convention rend la relation valable dans tous les ordres.
Dans les deux cas, le terme intermédiaire disparaît du bilan global : B relie deux déplacements, tandis que b relie deux intervalles d'intégration. La règle porte sur des vecteurs ou des intégrales orientées, pas sur la simple addition des longueurs géométriques ni sur des aires toujours positives.
The principle
Soient A, B et C trois points. Les vecteurs orientés qui relient ces points vérifient :
Soient aussi trois réels a, b et c, et une fonction f intégrable sur les intervalles qu'ils déterminent. Alors : . Le réel b n'a pas besoin d'être compris entre a et c.
When to use it
Pour les vecteurs, il faut enchaîner les extrémités : le vecteur AB finit en B et le vecteur BC part de B. Les trois points peuvent être distincts, confondus ou non alignés. Dans un repère, leurs coordonnées doivent être exprimées dans la même base.
Pour les intégrales, la même fonction f doit être intégrable sur les intervalles orientés reliant a, b et c. Le réel b peut être extérieur à l'intervalle compris entre a et c, car inverser deux bornes change le signe de l'intégrale.
Contre-cas : les vecteurs AB et CD ne s'enchaînent pas lorsque B et C sont différents. La relation de Chasles ne donne alors pas directement un vecteur AD ; il faut introduire un vecteur reliant B à C ou réordonner une chaîne réellement continue.
A step-by-step example
Dans un repère, on considère les points A de coordonnées (1 ; 2), B de coordonnées (4 ; 3) et C de coordonnées (2 ; 6). La figure associée rend visible le détour par B et le déplacement direct de A vers C.
1. Le vecteur AB a pour coordonnées (4 − 1 ; 3 − 2), soit (3 ; 1).
2. Le vecteur BC a pour coordonnées (2 − 4 ; 6 − 3), soit (−2 ; 3).
3. Leur somme vaut (3 + (−2) ; 1 + 3), donc (1 ; 4).
4. Le calcul direct donne pour le vecteur AC les coordonnées (2 − 1 ; 6 − 2), soit (1 ; 4). Les deux résultats coïncident : . Le contrôle consiste à refaire séparément les deux soustractions qui donnent AC.
5. Pour une intégrale, prenons la fonction constante , avec , et . Le point intermédiaire 2 est extérieur à l’intervalle [0 ; 1] : , tandis que . La seconde intégrale vaut −1 parce que ses bornes sont parcourues en sens inverse ; la décomposition retrouve bien le résultat direct.
In practice
En géométrie, la relation sert à faire apparaître un point intermédiaire utile. Pour calculer le vecteur AC lorsque les coordonnées de A, B et C sont connues, on peut additionner AB et BC ; le calcul direct de AC reste souvent le contrôle le plus court.
Dans une démonstration vectorielle, on décompose un vecteur lorsque le point intermédiaire relie les objets déjà présents. Si aucun point utile n'apparaît, conserver le vecteur direct évite d'allonger inutilement le raisonnement.
Pour une intégrale, on coupe l'intervalle à une valeur où la fonction change de formule, de signe ou de comportement. Si une primitive unique est immédiatement exploitable sur tout l'intervalle, le calcul direct peut être plus rapide.
Not to be confused with
La relation de Chasles ne doit pas être confondue avec l'inégalité triangulaire. Chasles donne une égalité entre vecteurs orientés. L'inégalité triangulaire compare leurs longueurs : dans l'exemple A(1 ; 2), B(4 ; 3), C(2 ; 6), le détour mesure √10 + √13, contre √17 pour le segment direct AC.
Une intégrale orientée n'est pas toujours l'aire géométrique comprise entre une courbe et l'axe horizontal. Si la fonction est négative sur une partie de l'intervalle, cette contribution est négative dans l'intégrale, tandis qu'une aire géométrique reste positive.
Limits and pitfalls
Si le point intermédiaire B coïncide avec A, le vecteur AB est nul et la relation devient 0 + AC = AC. S'il coïncide avec C, le vecteur BC est nul. Ces cas dégénérés ne font pas échouer la règle.
Le point B ne doit pas nécessairement appartenir au segment [AC]. Chercher un alignement ou un point placé entre A et C est donc un faux critère : il suffit que les deux vecteurs s'enchaînent en B.
Pour les intégrales, écrire la relation avec une fonction qui n'est pas intégrable sur l'un des intervalles concernés laisse un terme indéfini. Il faut alors vérifier l'existence des intégrales ou employer un cadre d'intégration adapté avant de décomposer.
Lorsque b est extérieur à l'intervalle entre a et c, une portion est parcourue en sens inverse. Oublier la convention produit un signe erroné ; il faut conserver les bornes dans leur ordre.
Further reading
La relation se prolonge à une chaîne de points. Pour des points successifs A0, A1, jusqu'à An, tous les vecteurs intermédiaires s'additionnent pour donner directement le vecteur de A0 vers An. Le même regroupement découpe une intégrale en autant de sous-intervalles que nécessaire. Cette extension s'obtient en appliquant plusieurs fois la relation à trois points ou à trois bornes.
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