Integration by parts

Face au produit d'une fonction simple à dériver, comme x, et d'une fonction simple à intégrer, comme e^x, le calcul direct peut sembler bloqué. L'intégration par parties échange les rôles : elle dérive la première fonction et cherche une primitive de la seconde. Le produit initial est alors remplacé par un terme calculable et une nouvelle intégrale. Le choix est utile lorsque cette nouvelle intégrale est plus simple que la précédente.

L'intégration par parties est une transformation issue de la dérivée d'un produit. Sur l'intervalle considéré, on suppose par exemple que les deux fonctions u et v sont continûment dérivables ; les dérivées et les intégrales écrites existent alors. La règle du produit donne, avec x pour variable, $(uv{)}^{\mathrm{\prime }}=u^{\mathrm{\prime }}v+u{v}^{\mathrm{\prime }}(uv)\text{'}=u\text{'}v+uv\text{'}$. En intégrant cette identité puis en isolant le terme contenant la dérivée v', on obtient :

Dans une intégrale sans bornes, les deux membres représentent des familles de primitives : la constante d'intégration est sous-entendue. Entre deux bornes a et b, le produit est évalué aux bornes et la formule devient ${\int }_a^{b}u{v}^{\mathrm{\prime }}dx=[uv{]}_a^b-{\int }_a^b{u}^{\mathrm{\prime }}vdx\backslash int\_a^b\; uv\text{'}\backslash ,dx=[uv]\_a^b-\backslash int\_a^b\; u\text{'}v\backslash ,dx$. La méthode transfère donc la dérivation de v vers u. Elle convient notamment aux produits polynôme–exponentielle ou trigonométrie–logarithme, à condition que ce transfert simplifie réellement l'intégrale restante.

On cherche une primitive du produit x·e^x. Les données sont la fonction u(x)=x, dont la dérivée vaut 1, et la dérivée v'(x)=e^x, dont on choisit la primitive v(x)=e^x. Ce choix diminue le degré du facteur polynomial sans compliquer l'exponentielle.

1. On applique la formule aux deux rôles annoncés :

2. Une primitive de e^x est e^x, donc :

3. Le contrôle consiste à dériver le résultat. La règle du produit donne $((x-1)e^x{)}^{\mathrm{\prime }}=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x((x-1)e^x)\text{'}=e^x+(x-1)e^x=xe^x$. On retrouve exactement l'intégrande de départ, tandis que la constante C disparaît.

Le même calcul entre 0 et 1 donne ${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx=[(x-1)e^x{]}_0^1=1\backslash int\_0^1\; xe^x\backslash ,dx=[(x-1)e^x]\_0^1=1$. Cette valeur exacte fournit un second contrôle du terme aux bornes.

Pour un produit entre un polynôme et une exponentielle, on dérive généralement le polynôme : son degré baisse à chaque étape. Si l'intégrande contient au contraire une fonction composée accompagnée de sa dérivée, un changement de variable est souvent plus direct.

Pour intégrer un logarithme seul, on peut le voir comme le produit de ln(x) par 1. Dériver ln(x) fait apparaître 1/x, tandis qu'intégrer 1 donne x ; ce choix est pertinent sur un intervalle où x est strictement positif.

Avec certains produits d'une exponentielle et d'une fonction trigonométrique, deux applications peuvent ramener à l'intégrale initiale. On regroupe alors cette intégrale des deux côtés de l'égalité pour la déterminer, au lieu de poursuivre indéfiniment.

Avec un changement de variable. Le changement de variable remplace une expression composée lorsqu'une dérivée correspondante est présente. L'intégration par parties traite un produit en déplaçant une dérivation. Ainsi, pour x·e^x, aucune substitution associant naturellement un facteur à la dérivée de son argument ne simplifie le produit : l'intégration par parties est le choix naturel.

Avec la règle du produit. La règle du produit calcule la dérivée de u·v, tandis que l'intégration par parties transforme une intégrale. Le contrôle de (x−1)e^x emploie la première ; le calcul d'une primitive de x·e^x emploie la seconde.

Un mauvais partage ne simplifie rien. Si la nouvelle intégrale est plus compliquée que l'ancienne, le symptôme est immédiat : davantage de facteurs ou une primitive inconnue apparaissent. Il faut inverser les rôles de u et v, ou choisir une autre méthode.

Les bornes ne disparaissent pas. Dans une intégrale définie de a à b, le produit u·v doit être évalué en b puis en a. Pour l'exemple entre 0 et 1, oublier le terme en 0 ferait perdre exactement 1.

Une intégrale impropre demande un passage à la limite. Lorsqu'une borne est infinie ou que l'intégrande devient singulier, on applique la formule sur un intervalle ordinaire, puis on vérifie séparément l'existence des limites. Une annulation formelle de termes divergents ne prouve pas la convergence.

La régularité compte. La formule n'autorise pas à dériver une fonction en un point où la dérivée requise n'existe pas. Il faut découper l'intervalle aux points problématiques ou employer une version adaptée dont les hypothèses sont établies.

La notion de fonction primitive précise ce que représente le résultat d'une intégrale sans bornes et pourquoi une constante C apparaît.

La fonction exponentielle explique pourquoi e^x reste inchangée lorsqu'on la dérive ou qu'on en cherche une primitive, propriété centrale dans l'exemple.