Fundamental theorem of calculus
Le théorème fondamental de l'analyse établit le lien central entre dérivation et intégration. Il comporte deux parties : la première affirme que si f est une fonction continue sur [a, b], alors la fonction F définie par F(x) = intégrale de a à x de f(t)dt est une primitive de f sur ]a, b[, c'est-à-dire F'(x) = f(x) pour tout x strictement compris entre a et b. Aux extrémités, seules des dérivées unilatérales peuvent être considérées. La seconde partie stipule que l'intégrale définie d'une fonction f entre a et b est égale à F(b) - F(a), où F est une quelconque primitive de f. Ce théorème est fondateur du calcul intégral.
Contents
What you will learn
- Distinguer les deux parties du théorème et leurs rôles.
- Relier la dérivée d’une fonction d’accumulation à la fonction intégrée.
- Calculer et contrôler l’intégrale de 2t entre 0 et 3.
- Repérer les précautions aux bornes et en présence d’une discontinuité.
In plain terms
Imaginez qu’une quantité s’accumule à un rythme qui varie. Pour la fonction qui associe 2t au nombre t, le cumul entre 0 et x vaut x2. Si l’on dérive ce cumul, on retrouve précisément le rythme 2x.
Le théorème fondamental de l’analyse relie ces deux gestes inverses. Intégrer construit un cumul à partir d’un rythme ; dériver ce cumul restitue le rythme. Il fournit aussi un raccourci : pour connaître le cumul entre deux bornes, il suffit d’y évaluer une primitive et de soustraire les deux valeurs.
Definition
Le théorème fondamental de l’analyse relie deux opérations : la dérivation, qui mesure une variation instantanée, et l’intégration, qui calcule une accumulation. Soit f une fonction continue sur l’intervalle fermé [a, b]. Pour un nombre x de cet intervalle, et en notant t la variable d’intégration, on définit la fonction d’accumulation G par . À tout point intérieur de l’intervalle, G est dérivable et sa dérivée vaut f.
La seconde partie transforme ce lien en méthode de calcul. Si P est une primitive de f sur [a, b], autrement dit si la dérivée de P vaut f, alors . Cette égalité est appelée formule de Newton-Leibniz. Deux primitives de f diffèrent d’une constante, mais cette constante disparaît dans la différence P(b) − P(a). Le résultat ne dépend donc pas de la primitive choisie.
The principle
Si f est continue sur l’intervalle fermé [a, b], alors la fonction G qui associe à x l’intégrale de f entre a et x vérifie, pour tout x intérieur à l’intervalle : .
Si P désigne une quelconque primitive de f sur cet intervalle et si t est la variable d’intégration, alors l’intégrale définie se calcule aux bornes : . La première partie construit une primitive ; la seconde donne la valeur de l’intégrale.
When to use it
Dans la forme présentée ici, il faut un intervalle fermé [a, b], deux bornes finies et une fonction f continue sur tout cet intervalle. L’intégrale entre a et x définit alors une fonction d’accumulation. Sa dérivée coïncide avec f aux points intérieurs, et toute primitive de f permet de calculer l’intégrale entre a et b.
Si f présente un saut en un point c, la conclusion G′(c) = f(c) n’est plus garantie : le cumul peut avoir des pentes différentes de part et d’autre de c. Il faut alors appliquer le résultat seulement aux points où f est continue, ou employer une version du théorème adaptée aux fonctions moins régulières.
A step-by-step example
On considère la variable t et la fonction f qui lui associe 2t, sur l’intervalle [0, 3]. Les données sont :
la fonction f(t) = 2t ;
la borne de départ a = 0 ;
la borne d’arrivée b = 3.
la fonction f(t) = 2t ;
la borne de départ a = 0 ;
la borne d’arrivée b = 3.
1. Une primitive de f est la fonction P définie par P(t) = t2, car la dérivée de t2 vaut 2t.
2. On évalue cette primitive aux deux bornes : P(3) = 32 = 9 et P(0) = 02 = 0.
3. On soustrait les valeurs : . L’intégrale vaut donc 9.
Le contrôle reprend l’autre partie du théorème : le cumul G(x) = x2 a pour dérivée G′(x) = 2x = f(x). Les courbes de f et de G rendent visibles l’aire accumulée et la pente retrouvée.
In practice
Pour calculer exactement une intégrale définie, on cherche une primitive de la fonction, puis on soustrait sa valeur à la borne de départ de sa valeur à la borne d’arrivée. Si aucune primitive usuelle n’est disponible, une méthode numérique fournit plutôt une approximation.
Lorsqu’une grandeur cumulée dépend d’une borne variable, sa dérivée redonne le rythme instantané qui alimente ce cumul. Ce geste sert, par exemple, à passer d’une quantité accumulée à son taux de variation.
Pour contrôler un calcul, on dérive la primitive proposée. Si l’on ne retrouve pas la fonction intégrée, la primitive est incorrecte ; si on la retrouve, il reste à évaluer soigneusement les deux bornes dans le bon ordre.
Not to be confused with
Primitive et dérivée. Une primitive P de f vérifie P′ = f ; la dérivée de f est au contraire une nouvelle fonction f′. Pour f(t) = 2t, une primitive est t2, tandis que sa dérivée vaut 2.
Primitive et intégrale définie. Une primitive est une fonction, alors qu’une intégrale entre deux bornes est un nombre. Pour f(t) = 2t, P(t) = t2 est une primitive et l’intégrale entre 0 et 3 vaut 9.
Limits and pitfalls
Aux bornes. La dérivée ordinaire utilise des valeurs des deux côtés du point. Sur [a, b], l’égalité G′ = f s’énonce donc aux points intérieurs ; aux extrémités, il faut parler de dérivée à droite en a ou à gauche en b.
À la borne de départ. Lorsque x = a, l’intervalle d’accumulation a une longueur nulle et l’intégrale vaut 0. Si un calcul donne une autre valeur, il faut vérifier les bornes ou la constante utilisée dans la primitive.
En présence d’une discontinuité. Un saut de f peut empêcher le cumul d’être dérivable au point du saut. Le symptôme est l’absence d’une pente unique ; il faut restreindre l’égalité aux points de continuité ou choisir un théorème plus général.
Avec une autre primitive. Remplacer P par P + C ne change pas le résultat, car la même constante C apparaît aux deux bornes et s’annule. Si deux primitives donnent des intégrales différentes, l’une des évaluations est erronée.
Further reading
fonction primitive — Pour approfondir la famille des fonctions dont la dérivée redonne une fonction donnée et le rôle de la constante additive.
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