Codazzi Delfino

En 1859, les recherches de Delfino Codazzi sur les surfaces et les coordonnées curvilignes reçoivent un prix de l'Académie des sciences de Paris. Le problème est concret à imaginer : lorsqu'une surface est décrite de plusieurs façons, ses mesures ne peuvent pas varier indépendamment.

Les formules associées à son nom vérifient cette cohérence. Elles imposent que les variations de la seconde forme fondamentale restent compatibles lorsqu'on les compare dans différentes directions sur la surface.

Delfino Codazzi est un mathématicien italien né en 1824 et mort en 1873, spécialiste de géométrie différentielle. Originaire de la région milanaise, il étudie à Pavie, enseigne ensuite dans le secondaire et poursuit parallèlement ses recherches. Ses travaux portent notamment sur l'application des surfaces les unes sur les autres et sur les coordonnées curvilignes. Ils sont récompensés en 1859 par un prix de l'Académie des sciences de Paris. En 1865, Codazzi devient professeur d'algèbre et de géométrie à l'université de Pavie.

Son nom reste attaché aux formules de Codazzi, également appelées formules de Mainardi-Codazzi. Elles concernent une surface plongée dans l'espace euclidien tridimensionnel. La seconde forme fondamentale décrit la courbure de cette surface dans l'espace ambiant ; les relations de Codazzi expriment l'égalité de certaines dérivées covariantes de ses coefficients, avec les termes de connexion correspondants. L'exemple guidé montre comment contrôler une de ces égalités en comparant les deux variations qu'elle met en regard. Avec les équations de Gauss, ces relations forment les conditions d'intégrabilité du système associé à la surface : les données locales employées pour décrire celle-ci doivent être compatibles entre elles.

La frise conserve quatre repères biographiques — 1824 pour la naissance de Codazzi, 1859 pour le prix parisien, 1865 pour sa nomination à Pavie et 1873 pour sa mort. Pour observer son apport mathématique dans le cas le plus simple, considérons maintenant un plan plongé dans l'espace euclidien tridimensionnel.

1. Un plan ne se courbe pas dans l'espace ambiant : tous les coefficients de sa seconde forme fondamentale sont nuls. Ce sont les données locales dont les relations de Codazzi vont contrôler les variations.

2. Choisissons une égalité de Codazzi et calculons les deux dérivées covariantes qu'elle compare. La dérivée d'un coefficient nul est nulle ; les termes de connexion correspondants donnent eux aussi zéro puisqu'ils portent sur des coefficients nuls.

3. Les deux côtés donnent donc zéro : l'égalité choisie est satisfaite. Le lecteur peut refaire le contrôle pour une autre égalité ; sur ce plan, chaque comparaison aboutit encore à zéro des deux côtés.

Le test montre le rôle de Codazzi : comparer les variations covariantes des coefficients de la seconde forme fondamentale. Il ne remplace pas les équations de Gauss, qui fournissent l'autre volet des conditions d'intégrabilité et doivent être vérifiées séparément.

Dans une histoire de la géométrie différentielle, le nom de Codazzi sert à relier un parcours du XIX^e siècle à un résultat toujours nommé. Pour retracer sa carrière plutôt que ses formules, on suit les repères 1859 et 1865.

Dans un texte sur les surfaces plongées dans l'espace euclidien tridimensionnel, la mention « Codazzi » désigne les relations portant sur les dérivées covariantes des coefficients de la seconde forme fondamentale, avec les termes de connexion correspondants. Si le texte traite l'autre partie des conditions d'intégrabilité, il faut aussi examiner les équations de Gauss.

Lors d'une recherche documentaire, « formules de Codazzi » et « formules de Mainardi-Codazzi » renvoient ici aux mêmes relations. Le nom composé est utile lorsque la seule mention de Codazzi ne suffit pas à identifier précisément le sujet.

Delfino Codazzi et les formules de Codazzi. Le premier est le mathématicien italien né en 1824 ; les secondes sont les relations de compatibilité auxquelles son nom reste attaché. Une date ou un poste universitaire signale la personne, tandis qu'une relation entre coefficients signale le résultat mathématique.

Formules de Codazzi et équations de Gauss. Elles ne sont pas deux appellations du même résultat. Les premières expriment l'égalité de certaines dérivées covariantes des coefficients de la seconde forme fondamentale, calculées avec les termes de connexion appropriés ; les secondes les accompagnent pour former les conditions d'intégrabilité d'une surface. La fiche Gauss Carl permet de replacer l'autre nom de cette association.

Une attribution à manier avec précision. La source donne deux noms, « Codazzi » et « Mainardi-Codazzi ». Présenter systématiquement ces relations comme l'œuvre du seul Codazzi effacerait cette variante d'appellation ; il faut conserver le nom composé lorsque le contexte historique l'exige.

Un cadre géométrique déterminé. La formulation donnée concerne des surfaces plongées dans l'espace euclidien tridimensionnel. L'appliquer sans précaution à tout espace ou à tout objet géométrique dépasserait le cadre annoncé ; il faut d'abord vérifier l'espace ambiant et le type de surface.

Une compatibilité en deux volets. Les relations de Codazzi ne constituent pas seules les conditions d'intégrabilité citées : la source les associe aux équations de Gauss. Omettre ce second volet donne un système incomplet ; il faut contrôler les deux familles de relations.

Pour prolonger le versant historique, la fiche Gauss Carl présente le mathématicien dont les équations complètent celles de Codazzi dans les conditions d'intégrabilité évoquées ici.