Christoffel symbol

Sur une feuille quadrillée, les flèches qui indiquent les directions des coordonnées restent parallèles. Sur une grille polaire, elles tournent et l’une s’allonge quand on s’éloigne du centre. Les symboles de Christoffel enregistrent précisément ces variations locales de la base.

Ils corrigent ainsi la dérivée ordinaire des composantes d’un vecteur. On peut alors comparer des vecteurs placés en des points voisins et écrire ce que signifie avancer « tout droit » sur une surface ou, plus généralement, sur une variété munie d’une métrique.

Dans une carte de coordonnées, les vecteurs de la base naturelle sont les dérivées de la paramétrisation par rapport aux coordonnées. Si le premier indice i indique la direction de dérivation, le deuxième j le vecteur de base dérivé et l’indice supérieur k la composante obtenue, les coefficients de connexion sont définis par ${\mathrm{\nabla }}_{e_i}{e}_j={\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{e}_k\backslash nabla\_\{e\_i\}e\_j=\backslash Gamma^k\_\{ij\}e\_k$, avec sommation sur l’indice k. Dans le cas d’une sous-variété munie de la métrique induite par un produit scalaire ambiant, la formule de la source ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k=({\mathrm{\partial }}_i{e}_j)\cdot e^k\backslash Gamma^k\_\{ij\}=(\backslash partial\_i\; e\_j)\backslash mathbin\{\backslash cdot\}e^k$, où e^k est le k-ième vecteur de la base réciproque tangentielle, donne les composantes de la partie tangentielle.

Pour la connexion de Levi-Civita d’une métrique dont les composantes sont notées g_ij, les coefficients se calculent dans une carte par la formule suivante ; g^kℓ désigne les composantes de la matrice inverse de la métrique. Cette connexion est l’unique connexion sans torsion qui préserve la métrique.

Les valeurs des symboles dépendent des coordonnées choisies. Elles peuvent toutes s’annuler dans une carte cartésienne du plan et être non nulles en coordonnées polaires sur ce même plan. En revanche, on peut annuler les symboles en un point par des coordonnées normales, sans faire disparaître nécessairement la courbure dans un voisinage.

Dans le plan euclidien, prenons les coordonnées polaires r et θ au point M de coordonnées r = 2 et θ = 0. La paramétrisation est $X(r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )X(r,\backslash theta)=(r\backslash cos\backslash theta,r\backslash sin\backslash theta)$. Les données sont donc M = (2, 0), le vecteur radial e_r = (1, 0) et le vecteur angulaire e_θ = (0, 2). La base réciproque vaut e^r = (1, 0) et e^θ = (0, 1/2).

1. Dérivons e_θ par rapport à θ. Au point M, on obtient ∂_θe_θ = (−2, 0).
2. Sa composante radiale est le produit scalaire avec e^r : Γ^r_θθ = (−2, 0) · (1, 0) = −2.
3. Dérivons e_θ par rapport à r : ∂_re_θ = (0, 1).
4. Sa composante angulaire vaut Γ^θ_rθ = (0, 1) · (0, 1/2) = 1/2. De même, Γ^θ_θr = 1/2.

Le contrôle se refait avec la métrique polaire, dont les composantes diagonales sont 1 et r² : les formules générales donnent Γ^r_θθ = −r = −2 et Γ^θ_rθ = 1/r = 1/2. Les deux calculs concordent exactement.

Pour écrire une géodésique dans des coordonnées données, on calcule les symboles à partir de la métrique, puis on les introduit dans l’équation du mouvement. En coordonnées cartésiennes du plan, ils sont nuls ; en coordonnées polaires, les termes non nuls compensent la rotation et le changement d’échelle de la base.

Pour dériver un champ de vecteurs sur une variété, la dérivée covariante ajoute aux dérivées des composantes les termes portant les symboles de Christoffel. La dérivée ordinaire suffit dans une base constante ; la dérivée covariante est nécessaire dès que la base varie avec le point.

En relativité générale, la métrique de l’espace-temps fournit la connexion de Levi-Civita. Les symboles qui en résultent interviennent dans les trajectoires géodésiques et dans le calcul de la courbure, mais leurs valeurs isolées restent liées au système de coordonnées.

Un symbole de Christoffel n’est pas une composante de tenseur. Sous un changement de coordonnées, sa loi de transformation contient un terme supplémentaire avec des dérivées secondes. Dans le plan, ses valeurs nulles en coordonnées cartésiennes deviennent non nulles en coordonnées polaires : ce cas tranche immédiatement.

La connexion n’est pas la courbure. La connexion organise la dérivation et le transport des vecteurs ; la courbure mesure l’échec de certaines dérivations covariantes à commuter. Des symboles polaires non nuls décrivent pourtant un plan de courbure nulle.

Une géodésique n’est pas un symbole de Christoffel. La géodésique est une courbe dont l’accélération covariante s’annule. Les symboles sont les coefficients, dépendants des coordonnées, qui apparaissent dans son équation locale.

Singularité des coordonnées polaires. Les coefficients Γ^θ_rθ = 1/r ne sont pas définis pour r = 0. Le plan n’y devient pas singulier : c’est la carte polaire qui cesse d’identifier un angle unique. Il faut employer une carte cartésienne autour de l’origine.

Convention des indices. Certains auteurs écrivent dans l’ordre Γ^k_ij, d’autres placent autrement les indices dans le texte ou les logiciels. Avant tout calcul, il faut vérifier quel indice désigne la dérivation, quel indice désigne le vecteur dérivé et quelle convention de sommation est utilisée.

Annulation en un point. Pour une connexion de Levi-Civita, des coordonnées normales peuvent rendre tous les symboles nuls au point choisi. Ce symptôme ne prouve pas que la géométrie est plate : les dérivées des symboles peuvent encore produire une courbure non nulle.

Connexion non métrique ou avec torsion. La formule construite uniquement à partir de la métrique caractérise la connexion de Levi-Civita. Pour une autre connexion affine, les coefficients ne sont pas déterminés par la métrique seule ; il faut utiliser la connexion effectivement donnée.

La fiche Géodésique montre comment les coefficients de connexion entrent dans l’équation locale des trajectoires dont l’accélération covariante s’annule.

La fiche tenseur aide à comprendre la loi de transformation tensorielle, précisément celle que les symboles de Christoffel ne suivent pas isolément.