Geodesic
Une géodésique est la généralisation de la notion de ligne droite sur une surface courbe ou dans un espace riemannien. C'est une courbe localement minimisante : tout arc suffisamment petit est le chemin le plus court entre ses extrémités. Sur une sphère, les géodésiques sont les grands cercles. En géométrie riemannienne, les géodésiques sont les courbes dont le vecteur tangent se transporte parallèlement le long de la courbe, ce qui se traduit par une équation différentielle du second ordre appelée équation des géodésiques.
Contents
What you will learn
- Relier la géodésique à la ligne droite et au transport parallèle.
- Calculer les deux arcs d'un grand cercle entre deux points.
- Distinguer géodésique locale et chemin globalement minimal.
- Reconnaître les cas antipodaux et le rôle du paramétrage affine.
In plain terms
Tendez un fil entre deux points d'une feuille plane : il suit une ligne droite. Sur une sphère, le chemin analogue reste sur la surface et épouse sa courbure. Il appartient à un grand cercle, dont le centre coïncide avec celui de la sphère.
Une géodésique joue ainsi le rôle de la droite dans l'espace considéré. Autour de chacun de ses points, un morceau assez court réalise le trajet minimal. Cette propriété est locale : prolonger la même courbe très loin ne garantit pas qu'elle demeure le plus court chemin entre ses nouvelles extrémités.
Definition
Une géodésique est une courbe d'une surface ou, plus généralement, d'un espace riemannien, c'est-à-dire un espace muni d'une manière de mesurer les longueurs et les angles. Elle généralise la droite du plan. Paramétrée à vitesse constante, elle ne subit aucune accélération intrinsèque : son vecteur tangent est transporté parallèlement le long de la courbe.
Dans des coordonnées locales, notons xk(t) la coordonnée d'indice k de la courbe au temps t, et Γkij les coefficients qui décrivent la connexion riemannienne. L'équation des géodésiques est . C'est une équation différentielle du second ordre.
Une géodésique est localement minimisante : chacun de ses points possède un voisinage dans lequel un arc assez court minimise la longueur entre ses extrémités. La réciproque locale vaut pour une courbe minimisante régulière paramétrée proportionnellement à la longueur. Dans le plan euclidien, les géodésiques sont les droites. Sur une sphère, ce sont les grands cercles, mais seuls certains de leurs arcs sont globalement minimisants.
A step-by-step example
Considérons une sphère de rayon 3 km. Deux points A et B sont placés sur un même grand cercle et forment, avec le centre O, un angle de 60°. Les données sont donc le rayon R = 3 km et l'angle central θ = 60° = π/3 radian.
1. Le grand cercle passant par A et B a le même rayon que la sphère, soit 3 km.
2. La longueur d'un arc de rayon R et d'angle θ mesuré en radians vaut Rθ. Pour l'arc court, , soit environ 3,14 km.
3. L'autre arc du même grand cercle couvre 360° − 60° = 300°, soit 5π/3 radians. Sa longueur vaut , soit environ 15,71 km.
4. Puisque 60° est inférieur à 180°, l'arc court est l'unique chemin minimal sur la sphère entre A et B. Il est donc à la fois un arc de géodésique et un minimiseur global pour ces extrémités.
Le contrôle consiste à additionner les deux longueurs : π + 5π = 6π km, qui est bien la circonférence 2πR = 2π × 3 = 6π km du grand cercle.
In practice
Sur une sphère, pour relier deux points non opposés, on repère le grand cercle qui les contient puis on choisit son arc court. Un petit cercle passant par les mêmes points peut sembler plus direct sur un dessin, mais il n'est pas une géodésique de la sphère.
Pour tester une courbe sur une surface, on vérifie si sa direction se transporte parallèlement le long du tracé. Dans des coordonnées, cela revient à contrôler l'équation des géodésiques. Une simple apparence droite dans une représentation plane ne suffit pas, car la représentation peut déformer les longueurs.
Pour comparer des trajets entre deux points éloignés, on calcule leurs longueurs globales. L'équation géodésique fournit des candidats naturels, mais le plus court trajet se décide ensuite par comparaison : une géodésique prolongée peut cesser d'être minimisante.
Not to be confused with
Géodésique et chemin globalement le plus court. Une géodésique minimise la longueur seulement sur des arcs assez courts. Sur la sphère de l'exemple, l'arc de 300° appartient au même grand cercle géodésique que l'arc de 60°, mais il est plus long entre A et B.
Grand cercle et petit cercle. Le plan d'un grand cercle passe par le centre de la sphère ; celui d'un petit cercle n'y passe pas. Sur une sphère, le premier est une géodésique, tandis que le second ne l'est pas.
Droite du dessin et géodésique de la surface. Une courbe peut paraître droite après projection sans minimiser la longueur mesurée sur la surface. Le critère porte sur la métrique de l'espace, non sur l'apparence du tracé dans une carte plane.
Limits and pitfalls
Points antipodaux. Lorsque l'angle central atteint 180°, deux points sont opposés sur la sphère. Une infinité de demi-grands cercles ont alors la même longueur πR. Il faut renoncer à l'unicité du chemin minimal.
Au-delà d'un demi-tour. Un arc de grand cercle dépassant 180° reste géodésique, mais l'arc complémentaire est plus court. Le symptôme est un angle central supérieur à π radians ; il faut comparer les deux arcs au lieu de conclure par le seul mot « géodésique ».
Paramétrage non affine. L'équation affichée dans la définition suppose un paramètre affine, par exemple la longueur d'arc à un facteur constant près. Un changement de vitesse arbitraire conserve le tracé géométrique, mais ajoute un terme tangent à l'équation. Il faut reparamétrer à vitesse constante avant d'appliquer la forme nulle.
Existence locale, minimum global. L'équation différentielle détermine localement une géodésique à partir d'un point et d'une direction dans un cadre riemannien régulier. Elle ne garantit pas qu'un arc prolongé minimise globalement la longueur ; cette propriété doit être vérifiée entre les extrémités choisies.
Further reading
Géométrie riemannienne — Pour situer la métrique, le transport parallèle et l'espace général dans lesquels se définissent les géodésiques.
Courbure géodésique — Pour étudier la courbure intrinsèque d'une courbe tracée sur une surface.
Explore mathematics differently
Discover our magazines, podcasts and games to explore mathematics differently.
See our offers