Collinear vectors
Des vecteurs sont dits colinéaires s'ils sont proportionnels, c'est-à-dire si l'un est un multiple scalaire de l'autre. Géométriquement, des points sont colinéaires s'ils sont tous alignés sur une même droite. Dans un espace euclidien orienté de dimension 3, deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Plus généralement, dans un espace vectoriel de dimension finie, deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si la matrice formée par leurs composantes est de rang inférieur à 2. La colinéarité est une notion fondamentale en géométrie affine et vectorielle.
Contents
What you will learn
- Relier la colinéarité à la proportionnalité de deux vecteurs et à l’alignement de points.
- Tester deux vecteurs du plan avec un déterminant nul.
- Refaire un exemple complet sur trois points et contrôler le facteur de proportionnalité.
- Traiter correctement le vecteur nul, les composantes nulles et les coordonnées approchées.
- Situer le produit vectoriel en dimension 3 et le critère de rang en dimension finie.
In plain terms
Sur une feuille quadrillée, placez les points A(1 ; 1), B(3 ; 4) et C(−3 ; −5). La flèche qui va de A vers C suit exactement la même droite que celle qui va de A vers B, mais elle pointe en sens inverse et mesure deux fois sa longueur.
Les deux déplacements sont donc colinéaires : l’un s’obtient en étirant l’autre, éventuellement en le retournant. Pour des points, cette même idée signifie qu’ils sont alignés sur une droite.
Definition
Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu’ils appartiennent à une même droite vectorielle. Pour deux vecteurs nommés u et v, cela signifie que l’un est un multiple scalaire de l’autre : il existe un nombre λ tel que , ou bien la relation inverse. Cette formulation inclut le vecteur nul, qui est un multiple de tout vecteur.
Dans le plan, notons (xu ; yu) les composantes de u et (xv ; yv) celles de v. Leur colinéarité équivaut à l’annulation du déterminant : . Dans l’espace à trois dimensions, deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul. En dimension finie quelconque, la matrice ayant leurs composantes pour colonnes a un rang strictement inférieur à 2.
Pour des points, la colinéarité exprime un alignement sur une même droite. Ainsi, trois points A, B et C sont colinéaires exactement lorsque les vecteurs allant de A vers B et de A vers C sont colinéaires. Cette notion relie donc géométrie affine, directions vectorielles et calcul algébrique.
A step-by-step example
On veut vérifier si trois points sont alignés. Les données sont :
A(1 ; 1), B(3 ; 4) et C(−3 ; −5) ;
le vecteur u va de A vers B ;
le vecteur v va de A vers C ;
les coordonnées d’un déplacement se calculent par arrivée moins départ.
A(1 ; 1), B(3 ; 4) et C(−3 ; −5) ;
le vecteur u va de A vers B ;
le vecteur v va de A vers C ;
les coordonnées d’un déplacement se calculent par arrivée moins départ.
1. On calcule le premier déplacement : .
2. On calcule le second : .
3. Chaque composante de v vaut −2 fois la composante correspondante de u : . Les deux vecteurs sont donc colinéaires et de sens opposés.
4. Un contrôle indépendant donne le même verdict : . Le déterminant est nul.
Ainsi, A, B et C sont alignés. Pour refaire le contrôle, il suffit de recalculer les deux déplacements puis de vérifier soit le facteur −2, soit le déterminant nul.
Une représentation du même calcul montre que les deux flèches issues de A restent sur une seule droite, malgré leurs longueurs et leurs sens différents.
In practice
Pour vérifier l’alignement de trois points repérés par leurs coordonnées, on forme deux vecteurs depuis le même point puis on calcule leur déterminant. Un dessin suffit à pressentir le résultat, mais le déterminant est préférable dès que l’alignement n’est pas visuellement certain.
Pour comparer deux droites, on examine leurs vecteurs directeurs. S’ils sont colinéaires, les droites ont la même direction ; la présence d’un point commun décide ensuite si elles sont confondues ou parallèles distinctes. Lorsque les directions ne sont pas données, résoudre leurs équations fournit cette vérification.
Pour déterminer une coordonnée inconnue qui doit rendre trois points alignés, on écrit que le déterminant vaut zéro, puis on résout l’équation obtenue. Dans l’espace à trois dimensions, le produit vectoriel fournit une alternative ; au-delà, on contrôle plutôt le rang de la matrice des composantes.
Not to be confused with
Colinéarité de vecteurs et parallélisme de droites. Des vecteurs directeurs colinéaires indiquent seulement une même direction. Les droites d’équations y = 0 et y = 1 ont des directions colinéaires, mais aucun point commun : elles sont parallèles distinctes, non confondues.
Points colinéaires et points coplanaires. Être coplanaires signifie appartenir à un même plan, condition moins restrictive que l’alignement. Les points (0 ; 0), (1 ; 0) et (0 ; 1) sont dans le même plan, mais aucune droite ne les contient tous.
Colinéarité et dépendance linéaire d’une famille. Pour deux vecteurs, les deux propriétés coïncident. Avec trois vecteurs du plan, la dépendance peut exister sans colinéarité deux à deux : (1 ; 0), (0 ; 1) et (1 ; 1) sont dépendants, mais aucune paire n’est colinéaire.
Limits and pitfalls
Le vecteur nul. Il est colinéaire à tout vecteur, car il est toujours obtenu avec le coefficient scalaire 0. Chercher à écrire un vecteur non nul comme multiple du vecteur nul échoue ; il faut inverser la relation ou employer le critère de rang.
La division composante par composante. Un quotient de composantes est indéfini lorsque la composante placée au dénominateur vaut 0, même si d’autres quotients peuvent rester calculables. Au lieu de diviser, on calcule le déterminant dans le plan : son seuil exact de colinéarité est 0.
Le produit vectoriel hors de son cadre usuel. Le test par produit vectoriel concerne l’espace à trois dimensions. Dans le plan, le déterminant suffit ; dans une dimension finie quelconque, il faut vérifier que la matrice des deux vecteurs a un rang inférieur à 2.
Les données approchées. Avec des mesures arrondies, un déterminant très petit mais non nul ne prouve pas un alignement exact. Il faut fixer une tolérance cohérente avec l’incertitude des coordonnées, puis annoncer une quasi-colinéarité plutôt qu’une égalité certaine.
Further reading
produit vectoriel — En dimension 3, ce critère transforme la colinéarité en un calcul vectoriel nul et en donne une lecture géométrique.
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