Corresponding angles
Lorsqu'une droite sécante coupe deux droites parallèles, les angles correspondants sont les angles situés du même côté de la sécante, l'un entre les deux parallèles et l'autre à l'extérieur, en des positions analogues par rapport à chacune des droites coupées. Le théorème des angles correspondants affirme que deux droites sont parallèles si et seulement si les angles correspondants formés par toute sécante sont égaux. Cette propriété est l'une des caractérisations fondamentales du parallélisme en géométrie euclidienne.
Contents
What you will learn
- Reconnaître deux angles correspondants par leur position aux deux intersections.
- Utiliser leur égalité pour calculer une mesure lorsque les droites sont parallèles.
- Employer la réciproque pour établir le parallélisme de deux droites.
- Distinguer les angles correspondants des angles alternes-internes.
In plain terms
Imaginez deux rails droits coupés par une route oblique. Aux deux croisements, regardez le même « coin » : par exemple, celui qui se trouve au-dessus du rail et à droite de la route. Ces deux coins occupent la même position relative. Les angles qu'ils forment sont correspondants.
Si les deux rails sont parallèles, ces angles ont la même mesure. Réciproquement, l'égalité d'une paire d'angles correspondants permet de conclure que les deux droites coupées sont parallèles.
Definition
Une sécante rencontre deux droites en deux points distincts. À chaque intersection, elle forme quatre angles. Deux de ces angles sont correspondants lorsqu'ils occupent la même position par rapport à la sécante et à la droite qu'elle coupe. Ils se trouvent du même côté de la sécante ; dans la configuration usuelle de deux droites parallèles, l'un est intérieur à la bande comprise entre elles et l'autre est extérieur.
Notons α la mesure du premier angle et β celle de l'angle placé dans la position correspondante au second croisement. Dans le plan euclidien, si les deux droites coupées sont parallèles, alors . La réciproque sert de critère : si une paire d'angles correspondants a la même mesure, alors les deux droites sont parallèles.
Le mot « correspondants » décrit donc une position, non une égalité supposée d'avance. L'égalité devient une conclusion quand le parallélisme est connu, ou une hypothèse permettant d'établir ce parallélisme.
A step-by-step example
Deux droites d1 et d2 sont parallèles. Une sécante les coupe. L'angle aigu situé au-dessus de d1 et à droite de la sécante mesure 65°. On cherche la mesure x de l'angle situé au-dessus de d2 et à droite de cette même sécante. La figure matérialise exactement ces deux positions.
1. Les deux angles sont du même côté de la sécante.
2. Chacun occupe le coin supérieur droit de son point d'intersection : ils sont correspondants.
3. Puisque d1 et d2 sont parallèles, deux angles correspondants sont égaux.
4. La mesure cherchée est donc .
2. Chacun occupe le coin supérieur droit de son point d'intersection : ils sont correspondants.
3. Puisque d1 et d2 sont parallèles, deux angles correspondants sont égaux.
4. La mesure cherchée est donc .
Le contrôle se refait sans calcul : superposez mentalement les deux croisements en faisant glisser d1 jusqu'à d2 le long de la sécante. Le coin supérieur droit conserve son ouverture ; les deux valeurs doivent donc coïncider.
In practice
Dans un exercice de calcul, repérez d'abord les deux intersections puis le même coin à chacune. Si les droites sont données parallèles, reportez la mesure connue sur l'angle correspondant. Si les angles ne sont pas dans la même position, cherchez plutôt une autre relation angulaire.
Dans une démonstration, mesurez ou établissez l'égalité d'une paire correspondante. Cette égalité autorise à conclure que les deux droites sont parallèles. Si les angles observés ne sont pas correspondants, ce critère ne s'applique pas tel quel.
Pour vérifier un dessin, ne vous fiez pas à l'impression visuelle de parallélisme. Marquez la sécante, identifiez les positions homologues et comparez les mesures. Une différence, même faible, empêche d'utiliser l'égalité exacte comme preuve.
Not to be confused with
Les angles alternes-internes sont tous deux situés entre les deux droites et de part et d'autre de la sécante. Des angles correspondants sont, eux, du même côté de la sécante et occupent la même position aux deux intersections. Sur deux parallèles coupées par une sécante, un angle intérieur et l'angle extérieur placé dans le coin homologue forment donc une paire correspondante, pas une paire alterne-interne.
Limits and pitfalls
Deux angles ne deviennent pas correspondants parce qu'ils semblent égaux sur un dessin. Leur position aux deux intersections est le premier test. Il faut repérer le même côté de la sécante et le même coin relatif avant de comparer leurs mesures.
Le critère suppose deux droites distinctes du plan coupées par une même sécante. Sans ces deux intersections, la paire correspondante requise n'est pas définie et aucune conclusion de parallélisme ne suit.
Une mesure arrondie ne prouve pas une égalité exacte. Deux lectures affichées à 65° peuvent masquer un écart. Dans une preuve, utilisez une égalité donnée ou démontrée ; dans une mesure expérimentale, annoncez la précision et concluez seulement à un parallélisme compatible avec elle.
Cette caractérisation appartient à la géométrie euclidienne. Dans un autre cadre géométrique, il faut vérifier le théorème disponible au lieu de transposer automatiquement le critère.
Further reading
Alternes-internes — Une autre paire d'angles permet d'étudier le parallélisme, avec un critère de position différent autour de la sécante.
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