GéométrieNotion · Glossaire
Alternes-internes
Les angles alternes-internes sont formés lorsqu'une sécante coupe deux droites distinctes. Ce sont les paires d'angles situés entre les deux droites coupées, de part et d'autre de la sécante. Ils sont dits alternes car ils se trouvent de côtés opposés par rapport à la sécante, et internes car ils sont à l'intérieur du couloir délimité par les deux droites. Le théorème des alternes-internes stipule que deux droites sont parallèles si et seulement si les angles alternes-internes formés par toute sécante sont égaux.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une paire d'angles alternes-internes dans une figure.
- Calculer une mesure lorsque les deux droites sont parallèles.
- Utiliser la réciproque pour démontrer un parallélisme.
- Distinguer cette paire des angles correspondants et des angles opposés par le sommet.
En clair
Imaginez deux rails coupés en biais par une route. Dans la bande comprise entre les rails, choisissez un angle à l'un des croisements. L'angle placé à l'autre croisement, lui aussi dans cette bande mais de l'autre côté de la route, forme avec lui une paire d'angles alternes-internes.
Si les deux rails sont parallèles, ces deux angles ont la même mesure. Réciproquement, l'égalité d'une telle paire suffit à établir le parallélisme des deux droites.
Définition
Une droite s, appelée sécante, coupe deux droites distinctes d1 et d2 en deux points distincts A et B. À A, les angles situés dans le demi-plan délimité par d1 qui contient B et, à B, ceux situés dans le demi-plan délimité par d2 qui contient A sont les quatre angles intérieurs. Deux de ces angles sont alternes-internes lorsqu'ils n'ont pas le même sommet et se trouvent de part et d'autre de s. Il existe alors deux paires possibles.
Dans le plan euclidien, si d1 et d2 sont parallèles, les deux angles d'une même paire d'alternes-internes ont la même mesure. La propriété vaut pour toute sécante qui coupe les deux droites.
La réciproque fournit un critère de parallélisme : si une sécante forme une paire d'angles alternes-internes de même mesure avec deux droites distinctes, alors ces droites sont parallèles. Une seule paire égale suffit ; il n'est pas nécessaire de vérifier les deux.
Un exemple, pas à pas
Deux droites d1 et d2 sont parallèles, et une sécante s les coupe aux points A et B. À l'intérieur de la bande, l'angle situé sous d1 et à gauche de s mesure 65°. On cherche la mesure x de son angle alterne-interne, situé au-dessus de d2 et à droite de s.
1. Repérez la bande comprise entre d1 et d2 : les deux angles choisis sont bien intérieurs.
2. Vérifiez leurs sommets différents, A et B, puis leurs positions sur des côtés opposés de s.
3. Utilisez le parallélisme donné de d1 et d2 : des angles alternes-internes ont la même mesure.
4. On obtient donc x = 65°.
2. Vérifiez leurs sommets différents, A et B, puis leurs positions sur des côtés opposés de s.
3. Utilisez le parallélisme donné de d1 et d2 : des angles alternes-internes ont la même mesure.
4. On obtient donc x = 65°.
Le dessin matérialise la paire utilisée sans faire de son apparence une preuve. Pour contrôler le résultat, l'angle adjacent à chacun des deux angles vaut 180° − 65° = 115° : les deux intersections présentent ainsi les mêmes mesures, 65° et 115°.
En pratique
Dans un exercice de calcul, le parallélisme est souvent signalé par des flèches identiques sur les deux droites. Après avoir reconnu une paire d'alternes-internes, on reporte la mesure connue sur l'angle recherché. Si les angles sont du même côté de la sécante, on utilise plutôt leur somme de 180°.
Dans une démonstration, on peut établir que deux droites sont parallèles en prouvant l'égalité d'une paire d'angles alternes-internes. Si les angles occupent la même position aux deux intersections, le critère adapté est celui des angles correspondants.
Sur un plan ou un tracé technique, une mesure au rapporteur peut suggérer le parallélisme. Elle ne remplace toutefois pas une donnée géométrique exacte : l'incertitude de lecture peut masquer un petit écart entre les droites.
À ne pas confondre
Les angles correspondants sont placés du même côté de la sécante et dans la même position relative aux deux intersections. Une paire située entre les deux droites, mais sur des côtés opposés de la sécante, est au contraire alterne-interne.
Les angles opposés par le sommet partagent le même sommet et se font face à une seule intersection. Des angles alternes-internes ont toujours deux sommets distincts, l'un sur chaque droite coupée.
Limites et pièges
Le dessin paraît parallèle. L'aspect visuel ne suffit pas. Sans parallélisme donné ou démontré, deux angles alternes-internes peuvent avoir des mesures différentes ; il faut mesurer, calculer ou utiliser une propriété établie.
Les deux angles sont intérieurs, mais du même côté. Ils ne sont pas alternes. Lorsque les droites sont parallèles, ces angles intérieurs du même côté sont supplémentaires : leur somme vaut 180°, au lieu d'être nécessairement égaux.
Les droites ne sont pas distinctes ou la sécante n'en coupe pas deux. La configuration attendue n'existe pas : on ne dispose ni de deux intersections distinctes ni du couloir nécessaire pour former une paire d'alternes-internes.
Deux mesures au rapporteur semblent égales. Cette égalité reste approchée. Pour conclure à un parallélisme exact, il faut une égalité démontrée ; dans un relevé réel, on conclut seulement à une compatibilité dans la précision de l'instrument.
Pour aller plus loin
Angles correspondants — Une autre position d'angles autour d'une sécante, utile pour calculer une mesure ou reconnaître deux droites parallèles.
Angles opposés par le sommet — Leur égalité explique comment propager les mesures autour de chacune des deux intersections.
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