Angles opposés par le sommet
Deux angles sont opposés par le sommet lorsqu'ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont les prolongements des côtés de l'autre. Lorsque deux droites se coupent en un point, elles forment quatre angles : deux paires d'angles opposés par le sommet. Le théorème des angles opposés par le sommet affirme que deux angles opposés par le sommet sont toujours égaux. Ce résultat est une conséquence directe du fait que la somme d'angles adjacents formés par deux droites est un angle plat.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les côtés deux à deux dans le prolongement autour d'un sommet commun.
- Déduire qu'un angle opposé à un angle de 68° mesure lui aussi 68°.
- Justifier l'égalité au moyen de deux sommes égales à l'angle plat de 180°.
- Distinguer les angles opposés des angles adjacents, supplémentaires ou simplement égaux.
- Éviter le piège des quatre angles droits et celui d'un dessin qui n'est pas à l'échelle.
En clair
Tracez deux droites qui se croisent, comme deux chemins vus d'en haut. Quatre ouvertures apparaissent autour du point de croisement. Deux ouvertures placées face à face sont opposées par le sommet : leurs côtés partent dans des directions exactement contraires.
Si l'une s'ouvre de 68°, celle qui lui fait face s'ouvre aussi de 68°. Il n'est donc pas nécessaire de la mesurer une seconde fois.
Définition
Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et si chaque côté de l'un prolonge un côté de l'autre. Cette relation apparaît lorsque deux droites distinctes se coupent. Elles déterminent quatre angles, regroupés en deux paires d'angles placés face à face. Les deux angles d'une paire ne partagent aucun côté.
Dans l'exemple conducteur, les droites AB et CD se coupent au point O. Les angles ∠AOC et ∠BOD sont opposés par le sommet, tout comme ∠COB et ∠DOA. Si la lettre m désigne la mesure d'un angle, le théorème donne .
Cette égalité vient des angles plats. L'angle ∠AOC et l'angle adjacent ∠COB ont une somme de 180°. L'angle ∠COB et l'angle ∠BOD ont aussi une somme de 180°. En retranchant la même mesure à 180°, on obtient l'égalité des deux angles opposés.
Un exemple, pas à pas
Les données sont les suivantes : les droites AB et CD se coupent en O ; les points A, O et B sont alignés, tout comme C, O et D ; l'angle ∠AOC mesure 68° ; un angle plat mesure 180°. Il faut déterminer les mesures de l'angle opposé ∠BOD et de l'angle adjacent ∠COB.
1. Identifier la paire opposée. Les côtés OA et OB sont des demi-droites opposées. Il en va de même pour OC et OD. Les angles ∠AOC et ∠BOD sont donc opposés par le sommet.
2. Appliquer l'égalité. Les angles opposés par le sommet ont la même mesure : .
3. Calculer l'angle adjacent. Les angles ∠AOC et ∠COB forment ensemble l'angle plat ∠AOB. Ainsi, m(∠COB) = 180° − 68° = 112°.
4. Contrôler. La somme 68° + 112° redonne 180°. Le même contrôle vaut de l'autre côté de l'intersection.
On obtient donc m(∠BOD) = 68° et m(∠COB) = 112°. La configuration comporte deux angles de 68° placés face à face et un angle adjacent qui complète l'angle plat.
En pratique
Dans un exercice de géométrie, la propriété donne immédiatement la mesure de l'angle placé en face d'un angle connu. Elle s'applique lorsque les deux paires de côtés sont des prolongements ; si les angles sont adjacents et forment un angle plat, il faut plutôt utiliser leur somme, égale à 180°. Dans les autres configurations, leur somme dépend de leur position.
Pour vérifier une construction de deux droites sécantes, on peut comparer les ouvertures opposées. Une différence signale une imprécision du tracé ou de la mesure. Avec un dessin à main levée, la propriété géométrique prime toutefois sur l'apparence.
Dans une démonstration, l'égalité des angles opposés évite un nouveau calcul. Lorsque l'alignement des côtés n'est pas établi, il faut d'abord prouver que les points concernés appartiennent bien aux deux mêmes droites.
À ne pas confondre
Angles adjacents. Ils ont le même sommet et un côté commun, et leurs intérieurs ne se recouvrent pas, alors que deux angles opposés par le sommet ne partagent aucun côté. Dans l'exemple, ∠AOC et ∠COB sont adjacents, tandis que ∠AOC et ∠BOD sont opposés.
Angles supplémentaires. Leur somme vaut 180°, quelle que soit leur position. Dans l'exemple, les angles de 68° et 112° sont supplémentaires ; les deux angles opposés de 68° ne le sont pas.
Angles simplement égaux. Deux angles peuvent avoir la même mesure sans partager de sommet. L'opposition par le sommet exige une configuration précise : un sommet commun et des côtés deux à deux dans le prolongement.
Limites et pièges
Un dessin ressemblant à une croix ne suffit pas. Si deux côtés ne sont pas exactement dans le prolongement l'un de l'autre, les angles ne sont pas opposés par le sommet. Il faut contrôler les deux alignements avant d'utiliser l'égalité.
Le cas charnière de 90° masque les paires. Lorsque les droites sont perpendiculaires, les quatre angles mesurent 90°. Deux angles adjacents sont alors égaux eux aussi ; il faut examiner leurs côtés, et non leur seule mesure.
Deux droites confondues ne forment pas quatre angles. La configuration usuelle exige deux droites distinctes qui se coupent en un seul point. Si elles se superposent, aucune paire face à face n'est ainsi déterminée.
L'apparence n'est pas une mesure. Une figure déformée peut faire paraître deux angles opposés différents. Dès que les prolongements sont établis, leur égalité découle du théorème, même si le tracé n'est pas à l'échelle.
Pour aller plus loin
Angles adjacents — Pour reconnaître les angles qui partagent un côté et comprendre leur rôle dans la démonstration par l'angle plat.
Angle plat — Pour approfondir la mesure de 180° utilisée dans le calcul de l'angle adjacent.
Sécantes (droites) — Pour replacer la propriété dans la configuration générale de deux droites qui se coupent.
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