Sécantes (droites)

Tracez deux droites qui se croisent sur une feuille. Elles partagent un point précis, là où les deux traits passent au même endroit : ce sont des droites sécantes, et ce point commun est leur point d’intersection.

Prolonger les traits aide à décider : l’intersection peut se trouver hors de la portion déjà dessinée. En revanche, deux droites distinctes qui gardent toujours la même direction dans le plan ne se rencontrent pas.

Dans un plan, deux droites distinctes sont sécantes si leur intersection contient exactement un point. En notant les droites d et d′ et leur point commun I, cette condition s’écrit $d\cap d^{\mathrm{\prime }}=\{I\}d\backslash cap\; d\text{'}=\backslash \{I\backslash \}$. L’orientation du dessin et l’angle formé ne changent pas ce statut : une intersection à angle droit est un cas particulier de droites sécantes.

Dans un repère, le point d’intersection doit satisfaire simultanément les équations des deux droites. Pour deux droites non verticales d’équations y = ax + b et y = a′x + b′, des coefficients directeurs différents, a ≠ a′, garantissent une unique solution. Si a = a′, les droites sont parallèles lorsqu’elles ont des ordonnées à l’origine différentes, et confondues lorsque leurs équations décrivent la même droite.

Cette alternative appartient au plan. Dans l’espace, deux droites peuvent être gauches : elles ne sont ni parallèles ni sécantes, car elles ne sont pas contenues dans un même plan.

Considérons la droite d d’équation y = 2x + 1 et la droite d′ d’équation y = −x + 4. Il faut déterminer si elles sont sécantes et, le cas échéant, trouver leur point d’intersection.

Données.
Pour d, le coefficient directeur vaut 2 et l’ordonnée à l’origine vaut 1.
Pour d′, le coefficient directeur vaut −1 et l’ordonnée à l’origine vaut 4.

1. Les coefficients directeurs 2 et −1 sont différents. Les deux droites ont donc un unique point commun.

2. Au point commun, les deux expressions de y sont égales. On résout $2x+1=-x+42x+1=-x+4$, soit 3x = 3, donc x = 1.

3. En remplaçant x par 1 dans l’une des équations, on obtient y = 2 × 1 + 1 = 3. Le point d’intersection est donc I(1 ; 3).

Contrôle. Le point I vérifie aussi la seconde équation : −1 + 4 = 3. Les deux équations sont satisfaites par le même couple de coordonnées. La représentation graphique montre les deux droites se rencontrant uniquement en I.

Sur une figure de géométrie, on prolonge mentalement ou au crayon les droites, car les segments visibles peuvent s’arrêter avant leur intersection. Si leur direction est exactement la même, on vérifie plutôt si elles sont parallèles ou confondues.

Dans un repère, on résout ensemble les deux équations pour obtenir les coordonnées du point commun. Comparer seulement les coefficients directeurs suffit à annoncer une intersection unique lorsqu’ils diffèrent, mais pas à la localiser.

Dans une construction, le point d’intersection sert souvent de nouveau repère : sommet d’un angle, point d’alignement ou départ d’une autre droite. Si les objets étudiés sont des segments, il faut encore vérifier que le point calculé appartient aux deux portions limitées.

Droites perpendiculaires. Elles se coupent en formant quatre angles droits ; elles sont donc toujours sécantes. Deux droites qui se rencontrent en I(1 ; 3) sans angle droit sont sécantes, mais pas perpendiculaires.

Sécante d’un cercle. Une droite sécante à un cercle possède deux points communs avec ce cercle. Pour deux droites, le mot sécantes exige au contraire un unique point commun. Le nombre et la nature des objets concernés tranchent.

Segments qui se croisent. Deux droites sont illimitées, tandis que des segments ont des extrémités. Les droites supports de deux segments peuvent être sécantes en I(1 ; 3) même si l’un des segments s’arrête avant I et ne touche jamais l’autre.

Intersection hors du dessin. Deux portions visibles peuvent sembler ne jamais se rencontrer alors que leurs droites supports sont sécantes plus loin. Il faut prolonger les droites ou résoudre leurs équations, plutôt que juger seulement la fenêtre représentée.

Droites confondues. Une infinité de points communs ne rend pas deux droites sécantes : la définition en exige exactement un. Si deux équations se réduisent à la même relation, on conclut que les droites coïncident entièrement.

Passage du plan à l’espace. Dans le plan, deux droites distinctes non parallèles sont sécantes. Dans l’espace, ce critère ne suffit plus : deux droites gauches ont des directions différentes mais aucun point commun. Il faut vérifier qu’elles sont coplanaires ou résoudre leurs équations paramétriques.

Tracé approximatif. Deux droites presque parallèles peuvent avoir une intersection très éloignée. Une petite erreur graphique déplace alors fortement le point apparent ; les équations donnent le verdict fiable.

Intersection — Généralise l’idée d’éléments communs à deux ensembles et précise le vocabulaire employé pour leur rencontre.

Angles opposés par le sommet — Prolonge l’étude de la figure formée lorsque deux droites sécantes déterminent quatre angles autour du point commun.