Toit (théorème)

Imaginez les deux pans d’un toit qui se rejoignent le long de la faîtière. Sur chaque pan, une latte suit la même direction horizontale. Le théorème du toit affirme alors que la faîtière suit elle aussi cette direction.

En géométrie, les pans sont deux plans sécants, les lattes sont deux droites parallèles placées chacune dans un plan, et la faîtière est la droite d’intersection des plans.

Le théorème du toit est un résultat de géométrie dans l’espace. Il concerne deux plans distincts et sécants, notés P et Q. Leur intersection est donc une droite, notée d. Le plan P contient une droite a et le plan Q contient une droite b. Les droites a et b ont la même direction.

Sous ces hypothèses, la direction commune de a et b appartient à la fois aux directions du plan P et à celles du plan Q. Or deux plans distincts sécants n’ont qu’une direction commune : celle de leur droite d’intersection. On obtient donc $d\parallel a\parallel bd\; \backslash parallel\; a\; \backslash parallel\; b$.

Le mot « toit » évoque seulement la configuration formée par deux pans qui se coupent suivant une faîtière. Le résultat ne dépend ni de l’inclinaison des plans ni d’un angle particulier. Il faut toutefois que l’intersection des plans soit bien une droite et que les deux droites données soient parallèles.

Soient P et Q deux plans distincts sécants selon une droite d. Si P contient une droite a, si Q contient une droite b et si a et b sont parallèles, alors la droite d est parallèle à a et à b. Autrement dit, $a\parallel b⟹d\parallel a\parallel ba\; \backslash parallel\; b\; \backslash Longrightarrow\; d\; \backslash parallel\; a\; \backslash parallel\; b$, sous les hypothèses précédentes.

Le théorème s’applique dans l’espace à trois dimensions. Il faut vérifier trois points : les plans P et Q sont distincts et sécants ; la droite a est contenue dans P et la droite b dans Q ; enfin, a et b sont parallèles. Ces données déterminent la direction de la droite d, intersection de P et Q, mais pas un point particulier de d.

Si les deux plans sont parallèles, aucune droite d’intersection n’existe : le théorème ne donne rien. Si les droites a et b ne sont pas parallèles, leur direction ne peut pas servir de direction commune aux deux plans ; il faut alors déterminer l’intersection par des équations ou par une autre construction.

Dans un repère de l’espace, on considère les données suivantes.
Le plan P a pour équation $z=yz=y$.
Le plan Q a pour équation $z=2-yz=2-y$.
La droite a est donnée par $(x,y,z)=(t,0,0)(x,y,z)=(t,0,0)$.
La droite b est donnée par $(x,y,z)=(t,0,2)(x,y,z)=(t,0,2)$, où le nombre réel t varie. La figure matérialise ces deux plans, leurs droites parallèles et leur intersection.

1. La droite a appartient à P, car ses points vérifient z = y = 0.
2. La droite b appartient à Q, car ses points vérifient z = 2 − y = 2.
3. Les deux droites ont le même vecteur directeur, de coordonnées (1, 0, 0) ; elles sont parallèles.
4. À l’intersection de P et Q, les égalités z = y et z = 2 − y donnent y = 1, puis z = 1.

La droite d d’intersection est donc $(x,y,z)=(t,1,1)(x,y,z)=(t,1,1)$. Son vecteur directeur est bien (1, 0, 0), comme ceux de a et b. Ce calcul direct contrôle la conclusion du théorème.

Dans une figure en perspective, le théorème sert à tracer la droite d’intersection de deux plans. Dès que chaque plan porte une droite de même direction, on trace l’intersection parallèlement à ces deux droites.

Dans une démonstration, il évite de calculer toute l’intersection lorsque seule sa direction est demandée. Si un point de cette intersection est aussi connu, ce point et la direction obtenue suffisent à définir la droite.

Lorsque les plans sont donnés par des équations et que leur intersection complète est recherchée, la résolution du système reste l’alternative adaptée. Elle fournit à la fois un point et une direction, tandis que le théorème du toit ne fournit que la direction.

Le théorème du toit ne doit pas être confondu avec le théorème de Thalès. Le premier détermine une direction dans l’espace à partir de deux plans sécants ; le second établit des rapports de longueurs dans une configuration de droites parallèles. Une question portant seulement sur la direction de l’intersection de deux plans relève du théorème du toit.

Il ne faut pas non plus confondre « deux plans sécants » et « deux plans parallèles ». Des plans sécants possèdent une droite commune ; des plans parallèles distincts n’ont aucun point commun. Sans droite commune, il n’existe pas de faîtière géométrique à laquelle appliquer le résultat.

Si P et Q sont confondus, leur intersection est tout un plan et non une droite unique. Le symptôme est l’impossibilité de désigner d sans choix supplémentaire ; il faut d’abord identifier une droite particulière dans ce plan.

Un dessin en perspective peut faire paraître parallèles deux droites qui ne le sont pas. Il faut comparer leurs directions établies par les données, et non leur apparence sur la feuille. Dans l’exemple, le même vecteur directeur (1, 0, 0) fournit ce contrôle.

Dire qu’une droite touche ou traverse un plan ne signifie pas qu’elle y est contenue. Si a possède un point extérieur à P, l’hypothèse échoue ; on doit alors revenir aux équations ou aux propriétés d’incidence disponibles.

Selon la convention adoptée, deux droites parallèles peuvent être exigées distinctes ou peuvent être confondues. Si la même droite appartient aux deux plans, elle est leur droite d’intersection ; la conclusion sur la direction demeure vraie.

La notion d’intersection précise ce que deux objets géométriques ont en commun et aide à distinguer point, droite ou ensemble de solutions.

Plus généralement, le théorème traduit une idée de directions communes : la direction de l’intersection de deux plans appartient aux deux plans. Cette lecture prépare l’étude vectorielle des sous-espaces et de leurs intersections.