cutoff function

Imaginez une commande douce qui vaut exactement 1 au cœur d'une zone, puis diminue progressivement avant de devenir nulle. Une fonction plateau réalise ce geste sans angle ni cassure : ses dérivées existent à tous les ordres. Elle peut ainsi isoler une région sans perturber brutalement ce qui se passe autour.

Dans l'exemple conducteur, la zone extérieure est l'intervalle ouvert U = (−2, 2) et la zone protégée est le segment compact K = [−1, 1]. La fonction vaut 1 sur K, s'annule en dehors de U et effectue la transition en douceur entre les deux.

Une fonction plateau associée à un ouvert U de ℝⁿ et à un compact K inclus dans U est une fonction f définie sur ℝⁿ qui est indéfiniment dérivable, vérifie 0 ≤ f ≤ 1, possède un support inclus dans U et vaut 1 en tout point de K. Le support est l'adhérence de l'ensemble des points où f n'est pas nulle ; cette précision explique pourquoi la fonction doit s'éteindre avec une marge autour de K.

La condition K ⊂ U signifie que le compact reste strictement à l'intérieur de la zone autorisée : aucune fonction plateau n'est demandée si K rencontre l'extérieur de U. Le théorème d'existence affirme que, dès que U est ouvert et K compact avec K ⊂ U, une telle fonction existe. Elle sert à conserver une information sur K tout en la localisant dans U.

Dans une partition de l'unité, plusieurs fonctions de ce type sont choisies pour couvrir un espace et leurs valeurs sont combinées localement. La notion ne désigne donc pas une formule unique : elle désigne une famille de fonctions satisfaisant ces contraintes.

Une fonction plateau s'organise autour de six éléments. L'espace ambiant ℝⁿ fournit le domaine de définition. L'ouvert U fixe la zone dans laquelle la fonction est autorisée à être non nulle. Le compact K est la zone où sa valeur est imposée à 1. Le support décrit l'ensemble fermé réellement occupé par la fonction. La régularité indéfinie garantit que la transition n'introduit aucune rupture détectable par une dérivée. Enfin, la borne 0 ≤ f ≤ 1 règle l'amplitude.

Ces éléments dépendent les uns des autres : l'inclusion K ⊂ U laisse une couronne entre la zone à préserver et la frontière autorisée, et cette marge rend possible l'extinction progressive. Le support doit rester dans U, tandis que la régularité impose que l'extinction soit plus douce qu'une coupure brutale. Dans l'exemple U = (−2, 2) et K = [−1, 1], ces contraintes suffisent à construire une fonction valant 1 sur le segment, nulle hors de l'intervalle et comprise entre 0 et 1.

On choisit sur la droite réelle l'ouvert U = (−2, 2) et le compact K = [−1, 1]. On cherche une fonction f qui soit indéfiniment dérivable sur ℝ, égale à 1 sur K, nulle hors de U et comprise entre 0 et 1.

Pour construire la transition, on introduit la fonction auxiliaire φ, définie par l'équation suivante.

On forme la transition s(t) = φ(t) / (φ(t) + φ(1 − t)), puis f(x) = s(2x + 3)s(3 − 2x).
Sur [−1, 1], les deux facteurs valent 1 ; hors de [−3/2, 3/2], l'un des facteurs vaut 0. Les deux facteurs restent compris entre 0 et 1, et supp(f) = [−3/2, 3/2] ⊂ (−2, 2).

Le contrôle se lit directement : sur K, f = 1 ; hors de U, f = 0 ; partout, 0 ≤ f ≤ 1. Les deux couronnes ont la même largeur, car (−1) − (−2) = 1 et 2 − 1 = 1. La fonction conserve donc la zone centrale tout en changeant de valeur sans rupture.

En analyse, une fonction plateau permet de travailler dans une région U tout en gardant une expression inchangée sur K. Le geste consiste à multiplier une fonction étudiée par ce filtre, puis à choisir U et K selon la zone où l'information doit rester intacte.

Pour construire une partition de l'unité, plusieurs fonctions plateau sont ajustées afin que leurs zones actives couvrent l'espace et que leur combinaison fournisse un poids local. La fonction plateau est alors préférée à une coupure indicatrice lorsque les dérivées doivent rester disponibles.

En théorie des distributions et sur les variétés, la même idée sert à localiser un calcul. Le critère observable est la conservation de la régularité : si une coupure crée un bord non dérivable, une fonction plateau constitue l'alternative adaptée.

Une fonction plateau ne se confond pas avec une fonction indicatrice. L'indicatrice de K vaut 1 sur K et 0 ailleurs, mais elle présente généralement une rupture sur la frontière de K. Une fonction plateau reste indéfiniment dérivable et ménage une transition dans U autour de K. Dans l'exemple, l'indicatrice de [−1, 1] coupe net en −1 et 1, tandis que la fonction plateau varie dans (−2, −1) et (1, 2).

Elle ne se confond pas non plus avec une fonction simplement continue. La continuité interdit un saut, mais elle ne garantit ni l'existence de dérivées, ni leur existence à tous les ordres. Le critère qui tranche est donc la régularité demandée, et non la seule absence de saut.

Le cas charnière est l'inclusion stricte du compact dans l'ouvert. Si K rencontre le complémentaire de U, une fonction dont le support est inclus dans U ne peut pas valoir 1 sur K : les exigences se contredisent. Il faut alors réduire K, agrandir U ou abandonner cette fonction plateau.

Un autre piège consiste à remplacer la transition douce par une coupure en deux morceaux. Une fonction peut être nulle hors de U et valoir 1 sur K sans être indéfiniment dérivable. Le symptôme est une dérivée absente ou discontinue au bord ; la correction consiste à réserver une zone de transition, comme (−2, −1) et (1, 2) dans l'exemple.

Enfin, le support n'est pas seulement l'ensemble des points où f est strictement positive : il comprend aussi les points d'adhérence de cet ensemble. Une fonction qui s'approche de la frontière de U sans s'annuler dans une marge peut donc avoir un support qui déborde de U.

Le prolongement naturel est la partition de l'unité : des fonctions plateau coordonnées permettent de recoller des descriptions locales en une construction globale. Cette idée explique leur rôle commun en géométrie différentielle, dans l'analyse sur les variétés et pour la théorie des distributions.

La fonction plateau est ainsi un modèle de localisation régulière. Elle ne choisit pas une formule canonique unique ; elle fournit une marge contrôlée entre la zone où une information est conservée et celle où elle doit disparaître.