differentiable map

Imaginez une carte qui transforme deux réglages en deux résultats. Autour d'une position donnée, une toute petite modification des réglages produit presque le même effet qu'une transformation linéaire. Doubler le déplacement double presque la variation ; additionner deux déplacements additionne presque leurs effets.

L'application est différentiable à cette position si l'erreur de cette approximation devient négligeable devant la taille du déplacement. Sa différentielle est le meilleur modèle linéaire local de la transformation.

Soit A un ouvert de ℝⁿ, soit f une application de A dans ℝᵐ et soit x un point de A. L'application f est différentiable en x s'il existe une application linéaire, notée Df_x, qui décrit sa variation au premier ordre. Pour un vecteur de déplacement h assez petit, on écrit :

Le reste r(h) doit vérifier $\frac{\parallel r(h)\parallel }{\parallel h\parallel }⟶0\backslash frac\{\backslash lVert\; r(h)\backslash rVert\}\{\backslash lVert\; h\backslash rVert\}\backslash longrightarrow\; 0$ lorsque h tend vers le vecteur nul. Cette condition signifie que l'erreur décroît plus vite que le déplacement lui-même. La différentielle Df_x est unique. Dans des bases choisies, elle est représentée par la matrice jacobienne de f en x. Lorsque n = m = 1, cette application linéaire est la multiplication par le nombre dérivé f′(x). La différentiabilité en x entraîne la continuité en x, mais l'existence de toutes les dérivées partielles en ce seul point ne suffit pas en général.

La notion réunit cinq éléments. L'ouvert A garantit que de petits déplacements autour du point restent dans le domaine. Le point x fixe l'endroit étudié. Le vecteur h décrit à la fois une direction et une amplitude de déplacement. L'application linéaire Df_x transforme h en variation prédite dans ℝᵐ. Enfin, le reste r(h) mesure l'écart entre la valeur réelle et cette prédiction. La linéarité de Df_x relie les déplacements additionnés ou multipliés par un scalaire à leurs variations prédites. La condition sur r(h) relie ensuite ce modèle à f : elle exige une erreur petite dans toutes les directions à la fois, pas seulement le long de quelques axes. Ces données suffisent à calculer l'approximation locale f(x + h) ≈ f(x) + Df_x(h).

Considérons l'application f de ℝ² dans ℝ² définie par $f(x,y)=(x^2+3y,xy)f(x,y)=(x^2+3y,xy)$. Les données sont le point a = (1, 2), le déplacement h = (0,01 ; −0,02) et la valeur f(a) = (7, 2).

1. Au point a, la différentielle associe à un déplacement (u, v) la variation suivante :

2. Pour h, la variation linéaire vaut Df_a(h) = (−0,04 ; 0). La valeur prédite est donc f(a) + Df_a(h) = (6,96 ; 2).

3. Le calcul direct au point a + h = (1,01 ; 1,98) donne f(a + h) = (6,9601 ; 1,9998). Le reste exact vaut ainsi r(h) = (0,0001 ; −0,0002).

4. Avec la norme euclidienne, le contrôle donne ‖r(h)‖/‖h‖ = 0,01 pour ce h. Cela ne constitue pas un contrôle de la limite. Le schéma met en regard la valeur prédite et la valeur réelle, puis agrandit leur écart.

Pour estimer rapidement la sortie après une petite perturbation, on calcule Df_x(h) au lieu de réévaluer tout le modèle. Si le déplacement n'est plus petit à l'échelle du problème, le calcul exact ou une approximation d'ordre supérieur devient préférable.

Pour étudier la sensibilité, on observe les directions que la différentielle amplifie, atténue ou annule. Une simulation non linéaire reste nécessaire si l'erreur locale n'est pas négligeable devant la précision recherchée.

Pour chercher un extremum d'une fonction à valeurs réelles, une différentielle nulle fournit une condition à tester en un point intérieur. Elle ne prouve pas à elle seule qu'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum : il faut examiner les termes d'ordre supérieur ou comparer les valeurs.

Dérivées partielles. Elles mesurent séparément les variations le long des axes. La différentiabilité exige une seule approximation linéaire valable pour tous les petits déplacements. Une fonction peut donc avoir ses dérivées partielles en un point sans y être différentiable.

Continuité. Une application différentiable en un point y est continue, mais la réciproque est fausse. Par exemple, la fonction réelle t ↦ |t| est continue en 0 et n'y possède aucune approximation linéaire au premier ordre.

Fonction affine. L'approximation f(x) + Df_x(h) est affine en h, tandis que la différentielle Df_x seule est linéaire et envoie le vecteur nul sur le vecteur nul. Dans l'exemple, la prédiction affine part de (7, 2), mais Df_a(0, 0) = (0, 0).

Un seul déplacement ne constitue pas une preuve. Dans l'exemple, le rapport 0,01 confirme seulement la qualité de l'approximation pour le h choisi. La définition exige que le rapport tende vers 0 pour tout déplacement h tendant vers 0.

Le point doit être intérieur au domaine dans ce cadre. Si le domaine n'est pas ouvert ou si le point est sur son bord, certains petits déplacements sortent du domaine. Il faut alors préciser une notion adaptée, par exemple une différentiabilité relative au domaine, au lieu d'appliquer silencieusement la définition donnée ici.

Une différentielle nulle ne signifie pas une fonction localement constante. Pour la fonction réelle t ↦ t², la différentielle en 0 est nulle, alors que les valeurs voisines sont positives. Elle indique seulement que la variation de premier ordre s'annule ; l'ordre suivant peut rester visible.

La qualité est locale. Même si f est différentiable en x, l'approximation peut devenir médiocre lorsque ‖h‖ grandit. Il faut contrôler le reste selon la précision recherchée plutôt que supposer que la linéarisation vaut loin de x.

La Différentielle approfondit l'application linéaire locale qui porte toute l'information du premier ordre.

La matrice jacobienne montre comment représenter cette application linéaire par un tableau de dérivées partielles dans des bases choisies.

La Dérivée partielle isole la variation selon une coordonnée et aide à distinguer information directionnelle et différentiabilité complète.