divergence of a sequence
Une suite numérique réelle diverge lorsqu'elle ne converge vers aucune limite réelle finie. Elle diverge vers +∞ (respectivement −∞) si, pour tout seuil réel M > 0, tous ses termes sont supérieurs à M (respectivement inférieurs à −M) à partir d'un certain rang ; une suite divergente peut aussi osciller sans tendre vers aucun infini. Cette notion permet de décrire le comportement asymptotique d'une suite au-delà de ses premiers termes.
Contents
What you will learn
- Séparer divergence vers +∞, divergence vers −∞ et divergence oscillante.
- Lire le rôle exact du seuil M, du rang n₀ et de tous les rangs ultérieurs.
- Prouver que uₙ = 2n − 3 dépasse le seuil 101 après le rang 52.
- Contrôler une inégalité stricte au rang frontière.
- Éviter de confondre divergence, non-bornitude, croissance et limite infinie.
In plain terms
Imaginez la liste 1, 3, 5, 7, 9… En avançant dans cette suite, les valeurs finissent par dépasser n’importe quel seuil choisi, même très grand. Elles ne se rapprochent donc d’aucun nombre fixe : la suite diverge vers +∞.
Une suite peut aussi descendre sans borne vers −∞. Elle peut enfin diverger autrement : 1, −1, 1, −1… reste bornée, mais son va-et-vient l’empêche de se stabiliser. Diverger signifie seulement ne pas avoir de limite finie ; cela ne signifie pas toujours grandir.
Definition
Une suite numérique réelle est une liste ordonnée de nombres réels. Si un désigne son terme de rang n, la suite est divergente lorsqu’il n’existe aucun réel ℓ dont les termes se rapprochent aussi près que voulu à partir d’un certain rang. La divergence est ainsi le complément de la convergence vers une limite finie.
Une première forme est la divergence vers +∞. Pour tout seuil réel positif M, il faut pouvoir trouver un rang n0 après lequel tous les termes dépassent M : . Pour une divergence vers −∞, tous les termes doivent au contraire devenir inférieurs à −M : . Le rang n0 peut dépendre du seuil choisi.
Ces deux cas n’épuisent pas la divergence. La suite de terme (−1)n alterne entre 1 et −1 : elle n’a ni limite finie ni limite infinie. Plus généralement, une suite peut osciller, être non bornée dans plusieurs directions ou changer de comportement sans que tous ses termes finissent du même côté d’un seuil.
What it is made of
L’étude d’une divergence vers l’infini fait intervenir cinq éléments. L’indice entier n ordonne les termes. Le nombre un est la valeur observée à ce rang. Le seuil positif M représente une hauteur arbitraire à franchir. Le rang n0, choisi en fonction de M, marque le début de la zone où la condition doit rester vraie. Enfin, la queue de la suite regroupe tous les termes dont le rang vérifie n > n0.
Le seuil commande donc le choix du rang, puis ce rang commande quels termes sont contrôlés. Un terme isolé au-dessus de M ne suffit pas : toute la queue doit y rester pour conclure à +∞. Pour −∞, le même dispositif s’applique sous le niveau −M. L’ordre des termes et leurs valeurs définissent ce comportement ; la manière de relier les points sur un dessin n’en fait pas partie.
A step-by-step example
Étudions la suite définie, pour tout entier n ≥ 0, par un = 2n − 3. Prenons le seuil M = 101. Les données sont donc la formule du terme, un indice entier non négatif et l’obligation stricte un > 101 après un certain rang.
1. Résolvons l’inégalité 2n − 3 > 101. Elle équivaut à 2n > 104, puis à n > 52.
2. Choisissons n0 = 52. Pour tout entier n > 52, on a bien un = 2n − 3 > 101. La figure montre le seuil, le rang frontière et les premiers termes qui restent au-dessus.
3. Contrôlons la frontière : u52 = 2 × 52 − 3 = 101, donc le rang 52 ne satisfait pas l’inégalité stricte. En revanche, u53 = 103, et la suite augmente ensuite de 2 à chaque rang.
Le même raisonnement fonctionne pour tout seuil positif M : résoudre 2n − 3 > M fournit un rang au-delà duquel tous les termes conviennent. Ainsi, la suite diverge vers +∞.
In practice
Pour une formule explicite comme un = 2n − 3, traduisez le seuil un > M en une condition sur n. Si la condition produit un rang valable pour tout M positif, la preuve de la divergence vers +∞ est complète.
Pour une suite qui alterne, observez des sous-suites. Les termes pairs et impairs de (−1)n valent respectivement 1 et −1 ; ces deux comportements incompatibles excluent une limite unique. Un test de seuil vers +∞ ou −∞ serait ici inadapté, car la suite reste bornée.
Sur un graphique ou une table de valeurs, quelques grands termes suggèrent un comportement, mais ne le prouvent pas. Il faut contrôler tous les rangs ultérieurs. Selon la forme de la suite, une inégalité, la monotonie ou l’étude de sous-suites fournit ce contrôle.
Not to be confused with
Divergence et divergence vers +∞. La seconde implique la première, mais la réciproque est fausse. La suite (−1)n diverge tout en restant entre −1 et 1 ; elle ne tend donc vers aucun infini.
Suite divergente et suite non bornée. Toute suite qui tend vers +∞ ou −∞ est non bornée, mais une suite non bornée ne suit pas forcément une seule direction. La suite de terme (−1)nn prend des valeurs arbitrairement grandes et petites sans tendre vers +∞ ni vers −∞.
Limite infinie et nombre limite. L’écriture +∞ décrit un comportement, pas un nombre réel atteint par les termes. Pour un = 2n − 3, aucun rang ne donne une valeur finale +∞ ; chaque terme reste un réel.
Limits and pitfalls
Un dépassement isolé. Trouver u53 = 103 > 101 ne suffit pas pour une suite quelconque : un terme ultérieur pourrait redescendre. Il faut établir l’inégalité pour tout n > n0, ou invoquer une propriété déjà prouvée qui la garantit.
Inégalité stricte au rang frontière. Dans l’exemple, u52 = 101 n’est pas supérieur à 101. Le choix n0 = 52 reste correct parce que la condition porte sur n > n0. Si une convention emploie n ≥ n0, il faut choisir 53.
Oscillation bornée. Une suite peut diverger sans quitter un intervalle borné. Pour (−1)n, les valeurs 1 et −1 reviennent indéfiniment. Étudiez alors les sous-suites paires et impaires au lieu de chercher un seuil infini.
Croissance sans conclusion automatique. Une suite croissante peut converger vers une limite finie si elle est majorée. Avant d’annoncer +∞, il faut montrer qu’aucun majorant réel ne retient tous ses termes, ou vérifier directement le critère des seuils.
Further reading
convergence d'une suite numérique — Étudier le cas complémentaire, où tous les termes finissent par se rapprocher d’un même réel.
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