doubling the cube

Imaginez un cube que l’on souhaite remplacer par un autre contenant exactement deux fois plus, sans changer sa forme. Doubler son arête ne convient pas : longueur, largeur et hauteur sont alors toutes doublées, donc le volume est multiplié par huit. Il faut augmenter l’arête dans une proportion plus subtile, égale à ∛2, soit environ 1,260. Le problème délien demande d’obtenir cette longueur avec une règle non graduée et un compas seulement. Une telle construction exacte est impossible.

La duplication du cube, ou problème délien, consiste à partir d’un cube donné et à chercher un second cube dont le volume est exactement double. La construction doit respecter une contrainte essentielle : seuls une règle non graduée et un compas sont autorisés.

On note a la longueur de l’arête initiale et V le volume du premier cube. Le volume d’un cube étant le cube de son arête, les deux volumes doivent vérifier :Si a′ désigne l’arête cherchée, elle doit donc satisfaire :Le facteur d’agrandissement nécessaire est ainsi ∛2.

Pierre Wantzel a établi en 1837 que ∛2 n’est pas un nombre constructible à la règle et au compas. L’impossibilité concerne cette combinaison précise d’outils et l’exactitude du résultat. Des procédés mécaniques, des courbes spéciales comme la quadratrice ou des tracés approchés peuvent fournir une solution hors de ce cadre, sans constituer la construction classique demandée.

Le problème réunit quatre éléments nécessaires. Le cube initial fournit une arête a et un volume V. Le cube recherché doit conserver la même forme tout en ayant le volume 2V. Le facteur d’échelle relie leurs arêtes : il vaut ∛2, car le volume dépend du cube de ce facteur. Enfin, la règle non graduée et le compas fixent les opérations géométriques admises.

La figure compare ces dépendances : une augmentation d’environ 26 % de l’arête suffit à doubler le volume. La position, la couleur ou l’orientation des cubes ne jouent aucun rôle ; seules comptent leurs longueurs relatives et la contrainte de construction. Ces données suffisent à calculer l’arête cible, mais pas à la construire exactement avec les deux outils imposés.

Prenons un cube dont l’arête mesure 3 cm. Les données sont donc une arête initiale de 3 cm, un volume initial à déterminer et un volume cible égal à son double. On cherche l’arête du second cube, en centimètres.

1. Le volume initial vaut 3 × 3 × 3 = 27 cm³.
2. Le volume cible vaut 2 × 27 = 54 cm³.
3. L’arête cible est la racine cubique de 54 :4. Numériquement, cette longueur vaut environ 3,780 cm, avec un arrondi au millième.

Le contrôle consiste à élever la valeur exacte au cube : (3∛2)³ = 27 × 2 = 54 cm³. Le volume est donc bien doublé. En revanche, le nombre 3,780 étant arrondi, son cube n’est qu’approximativement égal à 54 cm³.

Dans un exercice de géométrie, le premier réflexe est de traduire « volume double » en facteur appliqué à l’arête. Si une construction exacte à la règle et au compas est exigée, l’apparition de ∛2 permet de conclure que la demande est impossible.

Pour obtenir une maquette ou un dessin numérique, une valeur approchée de ∛2 peut suffire. Le nombre de décimales dépend alors de la précision attendue ; cette approximation ne doit pas être présentée comme une solution exacte au problème antique.

Dans l’étude historique des constructions, on vérifie toujours les outils autorisés. Un procédé mécanique ou une courbe spéciale peut produire la longueur cherchée, mais il répond à une variante du problème dès qu’il dépasse la règle et le compas seuls.

Doubler l’arête d’un cube. Ce geste multiplie le volume par 2³, donc par huit. Pour doubler seulement le volume, l’arête doit être multipliée par ∛2.

La quadrature du cercle. Cet autre problème antique cherche un carré de même aire qu’un cercle donné. Le critère est une égalité d’aires, tandis que la duplication du cube impose une relation entre deux volumes.

La trisection d’un angle. Elle demande de partager un angle donné en trois angles égaux. Son objet est un angle, alors que le problème délien cherche une longueur produisant un volume double.

Une approximation n’est pas une construction exacte. Avec le cube de côté 3 cm, prendre 3,780 cm donne un volume proche de 54 cm³, mais pas exactement égal. Il faut conserver 3∛2 cm pour écrire l’égalité exacte.

L’impossibilité dépend des outils. Le verdict de Wantzel porte sur la règle non graduée et le compas seuls. Une solution obtenue par un dispositif mécanique ou une courbe spéciale ne réfute pas ce verdict ; elle change le cadre autorisé.

Calculer une longueur ne signifie pas la construire. L’expression a∛2 détermine sans ambiguïté l’arête cible. Le piège consiste à croire que toute valeur définie algébriquement est automatiquement constructible avec les instruments classiques.

La tradition n’est pas un fait établi. Le récit de l’oracle de Delphes et de l’autel de Délos est présenté comme traditionnel. Il explique le nom « problème délien », mais ne doit pas être formulé comme un épisode historique certain.

La quadrature du cercle présente un autre grand problème antique et permet de comparer une impossibilité portant sur les aires à celle portant sur les volumes.

La trisection d’un angle complète le trio classique et montre qu’une consigne géométrique simple peut dépasser les possibilités de la règle et du compas.

L’article La règle et le compas dans l'enseignement prolonge la réflexion sur le rôle de ces instruments dans l’apprentissage de la géométrie.