Dürer's spirals

Imaginez un trait qui tourne autour d’un point. Vers l’intérieur, chaque tour devient plus serré, mais le trait n’atteint jamais le centre. Dans l’autre sens, les tours s’ouvrent toujours davantage et le trait n’a pas de dernier point.

Dürer décrit ainsi l’idée d’une ligne éternelle. Puisqu’une feuille n’en montre qu’un fragment, sa construction remplace cette spirale infinie par une suite d’arcs de cercle.

Les spirales de Dürer désignent plusieurs constructions décrites par Albrecht Dürer dans ses écrits de géométrie. La plus remarquable cherche à représenter une spirale sans début ni fin : elle s’enroule continûment autour d’un centre en se resserrant vers l’intérieur, et elle se déploie sans borne vers l’extérieur. Ni le centre ni une extrémité extérieure ne sont atteints par la ligne idéale.

Une figure finie ne peut contenir cet objet infini. Dürer en donne donc une approximation faite d’arcs de cercle, à partir d’un point nommé a. Dans cette description, l’amplitude est réduite de moitié à chaque tour vers l’intérieur. À chaque révolution vers l’extérieur, elle est augmentée de sa moitié, donc multipliée par 3/2. Ces deux progressions partent du même repère ; elles ne doivent pas être lues comme deux opérations réciproques.

Le principe de variation est identifiable, mais la description ne précise ni les centres successifs des arcs ni leurs points de raccordement. Les autres constructions de spirales proposées par Dürer sont accessibles dans la traduction de son traité réalisée par Jeanne Peiffer aux Éditions du Seuil.

Prenons une amplitude de référence de 8 cm au point de départ. Les données sont : 8 cm au rang 0, un facteur 1/2 par tour vers l’intérieur et un facteur 3/2 par révolution vers l’extérieur. Cet exemple illustre les variations annoncées ; il ne reconstitue pas les centres des arcs.

1. Vers l’intérieur, un premier tour donne 8 × 1/2 = 4 cm. Les deux tours suivants donnent 4 × 1/2 = 2 cm, puis 2 × 1/2 = 1 cm.

2. Vers l’extérieur, une première révolution donne 8 × 3/2 = 12 cm. Les deux suivantes donnent 12 × 3/2 = 18 cm, puis 18 × 3/2 = 27 cm.

Si n est un entier naturel, le rang n compte les révolutions extérieures et le rang −n les tours intérieurs, à partir du rang 0 de référence ; les deux suites d’amplitudes s’écrivent :

Le contrôle se refait depuis les extrêmes : 1 × 2 × 2 × 2 = 8 cm, tandis que 27 ÷ (3/2) ÷ (3/2) ÷ (3/2) = 8 cm. Le diagramme associé compare ces amplitudes sans prétendre reproduire la spirale historique.

Pour lire un dessin attribué à cette construction, observez d’abord sa fabrication. Une suite d’arcs de cercle dont l’amplitude se resserre vers un centre et s’accroît vers l’extérieur correspond au procédé décrit ; une courbe simplement enroulée ne suffit pas à l’identifier.

Pour reproduire le principe sur une feuille, choisissez une amplitude de départ, puis calculez séparément les valeurs intérieures et extérieures. Le calcul fixe leurs proportions. Le tracé exact des arcs exige en plus leurs centres et leurs raccordements, absents de cette description.

Pour expliquer l’infini du dessin, distinguez l’objet idéal de sa figure. L’objet se poursuit dans les deux sens ; le trait visible, limité par la feuille et l’épaisseur du crayon, n’en est qu’une approximation finie.

Une spirale au sens général. Le mot « spirale » nomme une famille plus large de lignes enroulées. La construction de Dürer se reconnaît ici à son approximation par arcs de cercle et aux variations d’amplitude prescrites. Un tracé enroulé dépourvu de ces deux indices reste une spirale, sans être pour autant cette construction.

Un cercle. Un cercle unique revient sur lui-même avec une amplitude constante. La ligne éternelle décrite par Dürer change au contraire d’amplitude d’un tour à l’autre : elle se resserre dans un sens et s’élargit dans l’autre.

Un tracé fini possède des extrémités visibles. Ce constat ne contredit pas l’expression « sans début ni fin » : la feuille ne montre qu’un fragment de la ligne idéale. Il faut séparer la propriété de l’objet conçu de celle de son dessin.

Réduire de moitié et augmenter de moitié ne sont pas des gestes inverses. À partir de 8 cm, une réduction donne 4 cm, puis une augmentation de la moitié donne 6 cm, pas 8 cm. Les deux règles doivent donc être appliquées depuis la référence dans leur direction respective, sans supposer une réversibilité absente de la formulation.

L’amplitude n’est pas automatiquement le rayon d’un arc. La description ne donne pas cette identification. Pour exécuter une reconstruction géométrique complète, il faut consulter le traité traduit par Jeanne Peiffer plutôt que d’inventer les centres et les raccordements.

Des arcs raccordés ne garantissent pas à eux seuls une courbe lisse. Sans données sur les tangentes aux jonctions, on ne peut conclure à l’absence d’angles. Il faut seulement retenir ici une succession d’arcs destinée à approcher la ligne.

La fiche spirale replace la construction de Dürer dans la notion géométrique plus générale de ligne qui s’enroule autour d’un point.