elliptic umbilic - catastrophe theory -

Imaginez une surface dont le centre se déforme lorsque trois réglages changent. À certains réglages, ses creux et ses cols apparaissent, se rejoignent ou disparaissent brusquement. L’image de trois branches aide à visualiser l’ombilic elliptique, mais son identification mathématique repose sur l’équivalence locale du potentiel au germe cubique elliptique et sur un déploiement pertinent à trois paramètres.

Le mot « catastrophe » ne désigne donc pas un désastre. Il signale un changement soudain des positions d’équilibre lorsque les paramètres varient doucement. La forme cubique du potentiel produit les trois directions caractéristiques de la pointe à trois pans.

L’ombilic elliptique est l’une des sept catastrophes élémentaires classifiées par le théorème fondamental de Thom. Il décrit une famille de potentiels dépendant de deux variables d’état, notées x₁ et x₂, et de trois paramètres de contrôle, notés p₁, p₂ et p₃. Dans la convention de la source, cette famille est :

Les états d’équilibre sont les points où les deux dérivées partielles du potentiel s’annulent. Un changement catastrophique devient possible lorsque, en plus, la matrice des dérivées secondes est singulière : un équilibre est alors dégénéré. Pour p₁ = p₂ = p₃ = 0, le terme cubique possède trois directions privilégiées, d’où l’image d’une pointe à trois pans et le surnom « le poil » donné dans la source.

Prenons le potentiel de la fiche avec p₁ = 1, p₂ = 0 et p₃ = 0. Les données sont donc deux variables réelles x₁, x₂ et trois paramètres fixés à ces valeurs.

1. Les équations d’équilibre s’obtiennent en annulant les deux dérivées : $x_1^2-x_2^2+2x_1=0x\_1^2-x\_2^2+2x\_1=0$ et $2x_2(1-x_1)=02x\_2(1-x\_1)=0$.

2. Si x₂ = 0, la première équation devient x₁(x₁ + 2) = 0. On obtient les équilibres (0, 0) et (−2, 0).

3. Si x₁ = 1, la première équation donne x₂² = 3. Les deux autres équilibres sont donc (1, √3) et (1, −√3).

4. La matrice des dérivées secondes vaut En (0, 0), elle est définie positive ; ce point est un minimum local. Aux trois autres points, son déterminant vaut exactement −12 ; ce sont des points-selles.

5. Le contrôle final consiste à remplacer les coordonnées dans le potentiel : K(0, 0) = 0, tandis que chacun des trois points-selles donne K = 4/3. La figure rend visible leur disposition en triangle autour du minimum central.

Pour étudier un potentiel à deux variables, on commence par résoudre les deux équations d’équilibre. Lorsque plusieurs solutions se rapprochent pendant que les paramètres changent, on vérifie que la forme locale du potentiel est équivalente au germe elliptique, que l’équilibre présente la dégénérescence attendue et que les trois paramètres en donnent un déploiement pertinent. Le nombre de branches visibles ne suffit pas à identifier l’ombilic elliptique.

On calcule ensuite la matrice des dérivées secondes à chaque équilibre. Un déterminant non nul classe un point ordinaire ; un déterminant nul signale une dégénérescence à examiner, car le nombre ou la nature des équilibres peut changer.

Si la structure observée n’a qu’une ou deux branches, il ne suffit pas de lui donner le nom d’ombilic elliptique. Il faut comparer la forme locale du potentiel et le nombre de paramètres pertinents avant de choisir une autre catastrophe élémentaire.

Avec un point-selle ordinaire. Un point-selle isolé possède une matrice des dérivées secondes non singulière. L’ombilic elliptique concerne une organisation dégénérée de la famille : si le déterminant de cette matrice reste non nul, on a seulement un équilibre ordinaire.

Avec une catastrophe au sens courant. Ici, aucune destruction n’est impliquée. Le critère est mathématique : une variation continue des paramètres peut provoquer une modification discontinue des équilibres sélectionnés.

Avec un ombilic de surface pris isolément. Dans cette fiche, « ombilic elliptique » nomme une catastrophe élémentaire définie par une famille de potentiels. La présence du potentiel et de ses trois paramètres tranche le sens employé.

Le potentiel seul ne désigne pas une trajectoire. Ses points critiques décrivent des états d’équilibre possibles. Pour prévoir une évolution temporelle, il faut ajouter une loi dynamique ; elle ne se déduit pas du seul polynôme.

Trois points-selles ne sont pas trois catastrophes. Dans l’exemple p₁ = 1, p₂ = p₃ = 0, les trois selles ont un déterminant égal à −12 : elles sont non dégénérées. La catastrophe se cherche aux valeurs de paramètres où ce déterminant devient nul.

La formule dépend d’une convention de coordonnées. Un changement d’échelle, de signe ou de variables peut donner une écriture différente tout en conservant la même structure locale. Il faut comparer les formes après transformation, et non terme à terme seulement.

Au point p₁ = p₂ = p₃ = 0, le test quadratique ne classe rien. La matrice des dérivées secondes est nulle à l’origine. Il faut alors conserver les termes cubiques, précisément ceux qui font apparaître les trois pans.

Un prolongement naturel consiste à éliminer les variables d’état entre les deux équations d’équilibre et la condition d’annulation du déterminant de la matrice des dérivées secondes. On obtient ainsi, dans l’espace des paramètres, l’ensemble où les équilibres deviennent dégénérés. Son étude décrit les régions entre lesquelles le nombre et la nature des équilibres peuvent changer.