hyperbolic umbilic - catastrophe theory -

Imaginez un paysage dont la hauteur dépend de deux positions. Trois réglages peuvent le déformer : l'un fait interagir les deux directions, tandis que les deux autres l'inclinent. Les creux, les sommets et les cols correspondent aux positions où la pente s'annule.

Pour certains réglages, une de ces positions devient particulièrement plate : une petite variation des paramètres peut alors changer l'organisation des équilibres. L'ombilic hyperbolique, surnommé « la vague », est le modèle cubique qui décrit cette organisation autour de sa singularité centrale.

L'ombilic hyperbolique est une catastrophe élémentaire de la classification de Thom. Il se présente comme une famille de potentiels à deux variables d'état réelles, notées x₁ et x₂, et à trois paramètres de contrôle réels, notés p₁, p₂ et p₃. Le premier paramètre couple les deux variables ; les deux autres ajoutent des termes linéaires. Le potentiel est :

Pour des paramètres fixés, les états critiques sont les couples où les deux dérivées premières s'annulent :
Un état critique devient dégénéré lorsque la matrice des dérivées secondes n'est plus inversible. Ici, son déterminant vaut :

La catastrophe se lit donc dans l'espace des paramètres : on y cherche les valeurs pour lesquelles les deux équations critiques et l'égalité 36x₁x₂ − p₁² = 0 sont simultanément satisfaites. Au réglage central p₁ = p₂ = p₃ = 0, l'origine est critique et toute la matrice des dérivées secondes y est nulle. C'est cette dégénérescence à deux directions, et non la seule allure d'un dessin, qui identifie le cœur du modèle.

On examine le réglage central. Les données sont p₁ = 0, p₂ = 0 et p₃ = 0 ; le couple candidat est x₁ = 0 et x₂ = 0.

1. Simplifier le potentiel. Avec ces paramètres, il reste $J_0(x_1,x_2)=x_1^3+x_2^{3}J\_0(x\_1,x\_2)=x\_1^3+x\_2^3$.

2. Vérifier le point critique. Les dérivées premières sont 3x₁² et 3x₂². Elles valent toutes deux 0 à l'origine.

3. Tester la dégénérescence. À l'origine, la matrice des dérivées secondes est la matrice nulle. Son déterminant vaut donc 0, et ses deux directions sont dégénérées.

4. Contrôler sur une coupe. Sur la diagonale x₁ = x₂ = t, le potentiel devient J₀(t,t) = 2t³. Il vaut −1/4 pour t = −1/2, 0 pour t = 0 et 1/4 pour t = 1/2. La coupe possède une tangente horizontale à l'origine, mais change de signe de part et d'autre : le calcul rend visible l'aplatissement sans réduire le modèle à une seule dimension.

Pour analyser le potentiel, on fixe d'abord les trois paramètres, puis on résout les deux équations de point critique. On calcule ensuite le déterminant de la matrice hessienne. Un déterminant nul signale qu'un point critique exige une analyse de dégénérescence ; un déterminant non nul indique un point critique ordinaire.

Pour situer les transitions dans l'espace des contrôles, on résout ensemble les équations critiques et 36x₁x₂ − p₁² = 0. Cette procédure est préférable à une simple inspection du relief, car elle fournit un critère algébrique vérifiable.

Pour vérifier qu'un modèle local relève bien de cette forme, on compare sa partie cubique et le nombre de paramètres indépendants après le changement de coordonnées admis par l'analyse. Si des termes négligés gouvernent encore le comportement dans la zone étudiée, il faut reprendre le modèle local plutôt que lui attribuer le nom d'après sa seule silhouette.

Ombilic elliptique. Il appartient lui aussi à la classification des catastrophes, mais il ne possède pas la forme normale donnée dans cette fiche. Le mot « ombilic » ne suffit donc pas : si la réduction du potentiel conduit à x₁³ + x₂³ avec le couplage p₁x₁x₂, le cas examiné est l'ombilic hyperbolique ; une autre partie cubique impose de refaire l'identification.

Potentiel et ensemble de catastrophe. Le potentiel J_p associe une valeur à un état et à des paramètres. L'ensemble de catastrophe rassemble, lui, les paramètres pour lesquels existe un état critique dégénéré. Au réglage nul, J₀ est encore une fonction complète de x₁ et x₂, tandis que le triplet (0, 0, 0) est une valeur particulière des contrôles.

Une pente nulle ne suffit pas. Les deux dérivées premières peuvent s'annuler alors que 36x₁x₂ − p₁² ne vaut pas 0. Le point critique est alors non dégénéré ; il ne faut pas le placer sur l'ensemble de catastrophe.

Un déterminant nul ne suffit pas non plus. L'égalité 36x₁x₂ − p₁² = 0 n'est pertinente que si les deux équations critiques sont vérifiées au même couple. Le bon contrôle consiste à résoudre les trois conditions simultanément.

Une coupe ne montre pas tout le potentiel. La courbe J₀(t,t) = 2t³ révèle une direction, mais elle masque les comportements hors de la diagonale. Pour conclure sur la dégénérescence centrale, il faut revenir aux deux dérivées premières et à la matrice hessienne complète.

La forme normale est locale. Elle organise le comportement près de la singularité choisie. Loin de cette zone, des termes absents du potentiel canonique peuvent redevenir importants ; il faut alors étudier le potentiel complet au lieu d'extrapoler le modèle cubique.

La fiche théorie des catastrophes replace cette forme parmi les modèles qui décrivent des changements qualitatifs d'équilibre.

La matrice hessienne approfondit le test de dégénérescence fondé ici sur le déterminant des dérivées secondes.

La fiche Bifurcation précise comment un changement de paramètre peut modifier l'organisation des états d'un système.

L'ombilic elliptique - théorie des catastrophes - offre un point de comparaison pour distinguer deux catastrophes portant le nom d'ombilic.